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摘 要

极限是分析学中研究函数的重要工具，极限的计算方法多种多样，对极限进行讨论，有助于对分析学中其他相关理论更深刻的理解。本文对函数极限的概念进行了深入分析,并分类总结了计算函数极限的方法。

关键词:函数极限，导数，中值定理，洛必达法则

Abstract：Limit is one of the important tools to the study of Analysis Mathematics. The calculation method of limit is varied. We can better understand the theory of the Analysis Mathematics by the discuss to limit. In this paper, we analysis the concept of function limit and summarize the calculation methods of the function limit.

Keywords: function limit, derivative, mean value theorem, L" Hospital rule.

目 录

1前 言………………………………………………………………………………4

2求函数极限的方法………………………………………………………………4

2.1利用极限的定义求极限 ……………………………………………………4

2.2利用迫敛性求极限……………………………………………………………4

2.3利用极限的四则运算性质求极限…………………………………………5

2.4利用两个重要极限公式求极限……………………………………………5

2.5利用单侧极限求极限 ………………………………………………………6

2.6利用函数的连续性求极限…………………………………………………6

2.7利用等价无穷小的性质求极限 …………………………………………6

2.8利用导数的定义求极限……………………………………………………7

2.9利用中值定理求极限………………………………………………………8

2.10利用洛必达法则求极限…………………………………………………9

2.11利用泰勒展开式求极限…………………………………………………12

2.12利用换元法求极限………………………………………………………12

2.13利用公式计算极限…………………………………………………12

结 论………………………………………………………………………………14

参考文献…………………………………………………………………………15

致 谢………………………………………………………………………………16

1 前言

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

极限是分析学中研究函数的重要工具，极限的计算方法多种多样，对极限进行讨论，有助于对分析学中其他相关理论更深刻的理解。

为了更好的阐述计算函数极限的方法，本文先从函数极限的概念，性质出发，给出一些基本方法。然后通过典型例题，总结出一些计算函数极限的其他方法。

2 求函数极限的方法

2.1利用极限的定义求极限

定义1^[1] 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或.

例1 设证明

证 由于当时，故对给定的 ，只要取，则当时，有.这就证明了.

2.2利用迫敛性求极限

定理1^[1] 设且在某内

有，则.

例2 求.

解 当时，有而，故由迫敛性得. 另一方面，当时有，故有迫敛性又可得.

综上，我们求得.

2.3利用极限的四则运算性质求极限

函数极限四则运算法则^[2]:设在自变量的同一变化过程中，极限与都存在，则有

（1）；（2）；

（3）.

注:利用极限的四则运算法则求极限，条件是每一项或每一个因子的极限都 存在，而且必须是有限次四则运算.

例3 求

解 当时有故所求极限等于

2.4利用两个重要极限公式求极限

两个重要极限

例4 求.

解

例5 求

解 .

2.5利用单侧极限求极限

函数当时，极限存在的充要条件为函数在处的左、右极限存在且相等,即.

例6 讨论函数，当时的极限.

解 因为，

即所以

2.6利用函数的连续性求极限

定义2^[1] 设函数在某内有定义，则称在点连续.

引入函数在点连续的另一种表述，记,设，,函数在点连续等价于用方式来叙述，即：若对任给的，存在，使得当时，有 则称函数在点连续.

同时极限式又可表示为可见“在点连续”意味着极限运算与对应法则的可交换性.

定理2^[1] 若函数在点连续，在点连续，，则复合函数在点 连续.

注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表为

例7 求

解 可看作函数与的复合，从而有

2.7利用等价无穷小的性质求极限

定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小量.

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