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摘 要

本文针对函数项级数的一致收敛性做了系统的研究,总结了判别函数项级数一致收敛的常用方法与一些新方法,并对每一种方法给予严格证明,每种方法配有适当的例子进行说明,以便于更好地掌握函数项级数的相关知识.

关键词： 函数项级数,一致收敛性,判别法

Abstract： In this paper, we study the uniform convergence of convergence of the function series. And we summarize the common discriminant methods and some new discriminant methods to the uniform convergence of functional series.Meanwhile we prove each of the methods strictly . We offer an example of each method in order to understand the function series.

Key Words： function series,　the uniform convergence, discriminant method

目 录

1 绪论 4

2 函数项级数一致收敛的定义 4

3 函数项级数一致收敛的充分必要条件 4

4 函数项级数一致收敛的充分条件 6

4.1 魏尔斯特拉斯判别法 6

4.2 阿贝尔判别法 7

4.3 狄利克雷判别法 8

4.4 狄尼定理 9

4.5 函数项级数一致收敛的比较判别法 9

4.6 函数项级数一致收敛的其他常用方法 11

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1 绪论

所谓函数项级数,是指级数

它的每一项都是一个函数．

关于函数项级数,我们主要关注三个问题,那就是：收敛域,一致收敛性,级数和的性质．本文主要讨论的是函数项级数的一致收敛性．

由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和数列来确定,所以函数项级数的一致收敛性就可以和函数列的一致收敛性相联系起来．但并非每一个函数项级数的部分和都那么好求,所以针对函数项级数一致收敛性我们又有一套独特的判别方法,即从通项的分析入手．

2 函数项级数一致收敛的定义

设是定义在数集上的一个函数列,表达式

(1)

称为定义在上的函数项级数,简记为或．称

为函数项级数(1)的部分和数列．

定义1 设是函数项级数的部分和函数列,若在数集上一致收敛于函数,则称函数项级数在上一致收敛于函数,或称在上一致收敛．

3 函数项级数一致收敛的充分必要条件

定理1^[1] 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是

例1 判别下列函数项级数的一致收敛性．

　；　

解 =

=

=

当时,以为极限,且在上,

因此,对任意的,取,则当时,对都成立,即在上一致收敛.

　

所以

因而

所以

故原级数在上非一致收敛.

像上文中的部分和函数列可求出,则问题转化为函数列的情形去解决,也就是使用定义或一致收敛的充要条件来处理．

定理2^[1] 函数项级数在数集上一致收敛的充要条件为：对任给的正数,总存在某正整数,使得当时,对一切和一切正整数,都有

或.

推论 函数项级数在数集上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛于零．

例2 证明在上不一致收敛.

证 这是因为,,对,总有使得

故由柯西准则知在上不一致收敛.

柯西收敛准则从理论上讲能解决任何函数项级数的一致敛散性问题,但柯西收敛准则又是判别函数项级数一致敛散性的各种方法里面最复杂的一种．当证明函数项级数非一致收敛时也常用柯西准则来判别．

4 函数项级数一致收敛的充分条件

4.1 魏尔斯特拉斯判别法

定理3^[1] 设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对一切,有则函数项级数在上一致收敛．

证 由假设正项级数收敛,根据数项级数的柯西准则,任给正数,存在某正整数,使得当及任何正整数,有

.

从而对一切有

.

根据函数项级数一致收敛的柯西准则,级数在上一致收敛．

例3 证明函数项级数在上一致收敛．

证　因为对一切有, ,而正项级数是收敛的,故函数项级数,在上是一致收敛的．

4.2 阿贝尔判别法

定理4^[1] 设

(i)在区间上一致收敛；

(ii)对于每一个,是单调的；

(iii)在上一致有界,即对一切和正整数,存在正数,使得,

则级数在上一致收敛．

证 由(i),任给,存在某正整数,使得当时及任何正整数,对一切,有,又由(ii),(iii)及阿贝尔引理得到

．

于是根据函数项级数一致收敛的柯西准则就得到本定理的结论．

例4 证明在上一致收敛.

证 令,则一致收敛,对固定的,单调递增,且故按阿贝尔判别法,级数在上一致收敛．

4.3 狄利克雷判别法

定理5^[1] 设

(i)的部分和函数列在上一致有界；

(ii)对于每一个,是单调的；

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