论文总字数：5156字

摘 要

：函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念,本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,并给出了有限区间和无限区间上函数一致连续性的判别定理，并分别给出了这些定理的证明，同时也总结了一致连续性的一些性质.

关键字: 函数，连续，一致连续

Abstract: The uniform continuity of functions is an important concept of mathematical analysis. In this paper, we analyze the concept of uniform continuity deeply and give some discriminant theorems of uniform continuity on the finite or the infinite interval. The proof of the theorem are given respectively and some properties of uniform continuity are also summarized .

Keywords: function, continuation, uniform continuity

目 录

1 引言 4

2 一致连续性的概念 4

3 一致连续性的判定 4

3.1 有限区间上的连续函数的一致连续性 4

3.2 无限区间上的连续函数的一致连续性 6

3.3 函数一致连续性的其他判定定理 7

4 函数一致连续性的性质 9

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1 引言

一致连续是数学分析的一个概念，它能够帮助我们理解和解决很多问题 .教材中给出了一元函数一致连续性的的定义和判断函数在闭区间上一致连续的一致连续性定理,但是当我们应用时会发现这些内容不够，使用定义证明函数在区间上一致连续非常复杂，一致连续性定理的使用条件又比较苛刻，因此需要探索判别函数一致连续的其它方法. 本文从一致连续性出发，结合连续、极限、导数等概念及性质给出了另外几种判定函数在有限区间、无限区间以及任意区间上一致连续的判定定理及证明，并总结了函数一致连续的一些性质，且列举了几个例子来说明函数一致连续性的应用.

2 一致连续性的概念

定义2.1^[1] 设为定义在区间上的函数.若对,使得对只要,就有,则称函数在区间上一致连续.

例1 证明：函数在上一致连续.

证明 由于，取=，则对任何，只要，,就有，故函数在上一致连续.

定义2.1＇(非一致连续定义) 设函数在区间 上有定义,若

时有 ,

则称在上非一致连续.

例2 证明：函数在区间上非一致连续.

证明 ，取，虽然有

但，故函数在区间上非一致连续.

3 一致连续性的判定

3.1 有限区间上的连续函数的一致连续性

定理3.1^[1]（一致连续性定理）若在上连续,则在上一致连续.

证明　（应用有限覆盖定理）由在闭区间上的连续性，任给，对每一点，都存在，使得当时有 .

考虑开区间集合，显然是的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在的一个有限子集覆盖了. 记 .对任何,，，必属于中某开区间，设，即. 此时有 ，故有 和 .由此得. 所以在上一致连续.

定理3.2 函数在有限开区间内一致连续的充要条件是在内连续且极限和存在.

证明［充分性］若在连续，且和都存在，则令

于是有在闭区间上连续，由一致连续性定理，在上一致连续，从而在内一致连续.

［必要性］若在内一致连续，则,当时，有，从而在连续. 当时，有. 根据柯西收敛准则，极限存在，同理可证极限也存在，故在连续，与都存在.

例3 证明 在内一致连续 .

证明 在内连续，且

，

即与都存在，从而在内一致连续。

推论1 如果在连续且存在,则函数在内一致连续.

推论2 如果在连续且存在,则函数在内一致连续.

3.2无限区间上的连续函数的一致连续性

定理3.3 如果在内连续，且都存在，则在内一致连续.

证明　 ,当 时,　有 ,从而当 时, 有

.

所以在上一致连续.同理可证当 时,有 ,即知在上一致连续.

又在上连续,所以当时，有,故 在上一致连续. 取 ,当时便有

即在上一致连续.

推论1 如果在内连续，且与都存在，则函数在内一致连续的.

推论 2 如果在内连续，且存在，则函数在内一致连续.

推论 3 如果在内连续，且存在，则函数在内一致连续.

推论4如果在内连续，且与都存在，则函数在内一致连续.

例4 证明：在上一致连续.

证明　　因为在上连续，且,.

所以在 上一致连续.

3.3 函数一致连续性的其他判定定理

定理3.4 设函数在区间 上有定义,在上一致连续的充要条件是如果对区间上的任意两数列与，当时,有 .

证明　［必要性］因为在上一致连续,所以,当时，有.任取上的两数列与并且满足.则对,当时有 .于是,即.

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