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摘 要

本文利用复数的基本性质及多样的表示形式，对于平面几何的相关问题进行了探讨，对于一些复杂的的平面几何问题，如几何角度、垂直、共线、距离、不等式、轨迹等问题，给出了简单的复数解决方法。

关键词：复数，平面几何，向量

Abstract：In this paper, we thoroughly discussed some geometry questions on plane by using the basic properties and the various presentations of complex number. Meanwhile, we gave some easy methods to some difficult problems of geometry, such as angle, vertical, collinear, distance, inequality, trajectory and so on.

Keywords：complex number, plane geometry,vector

目 录

1 引言……………………………………………………………………………… 3

2 基础知识 …………………………………………………………… 3

3 平面几何相关问题 ……………………………………………………………… 3

3.1 证明三角形为正三角形 …………………… ……………………………… 3

3.2证明几何中的角度相等 ……………………………………………… 4

3.3 证明几何中的不等式 ………………………………………………………… 4

3.4 证明三角恒等式 ……………………………………………………………… 5

3.5 解决有关距离的问题……………………………………………………… 6

3.6 解决有关共线的问题 ……………… ……………………………………… 6

3.7 解决有关垂直的问题 ………………………………………………………… 7

3.8 解决几何中的轨迹问题…………………………………………………………8

结论 ………………………………………………………………………………… 11

参考文献………………………………………………………………………………12

致谢 ………………………………………………………………………………… 13

1. 引言

复数有着很显著的几何意义，和几何学有着密不可分的联系，平面上的点和复数具有一一对应的关系，平面上的向量和复数具有一一对应的关系，可以用平面上的点或原点出发的向量来表示复数，或用复数表示一些平面几何图形的性质。利用复数法证明某些平面几何问题有特殊技巧和特别之处。

2. 基础知识

在接下来的讨论中，我们将需要了解复数的基本知识。其中包括复数的模，辐角，运算的性质等结论。

设分别为复数的模，分别是的辐角，将表示成指数形式， 复数也可以表示成.^[1]

（1）复数乘法的运算法则是：，复数除法的运算法则：

（2）三角形重心

（3）三角公式：

（4）如果两条线段垂直并且相等的话，那么可以转换为两个复数向量，满足的充要条件：

（5）三点共线的充要条件为。^[2]

3. 平面几何相关问题

复平面的建立实现了几何和复数间的转化，因此可以利用复数法解决一些几何问题，而复数及其几何意义是解决几何问题的有力工具。^[3]

3.1 证明三角形为正三角形

例1 证明:如果一个三角形的外心和它的重心相重合,那么这个几何图形为等边三角形.

证明 两个心相重合，那么令这个重合的点为，建立一个重合点为原点的复平面的直角坐标系，设三角形的三个顶点为。其对应的复数为。由题意得，为三角形的重心，则也就是。又因为为三角形的外心，则各顶点到原点的距离就是外接圆的半径也就是： 由可得。那么可得即由此可得所以同理可得：故此三角形在复平面上是正三角形。

3.2证明几何中的角度相等

例2 在正方形中（如图），是的中点，是的中点，求证：.

证明建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设则，，有

所以，即.

3.3 证明几何中的不等式

例3 在凸四边形中，求证：

证明 根据下图，以凸四边形的点为原点，建立复平面直角坐标系，将复数,

分别对应点,由此可得

3.4 证明三角恒等式

例4 已知：，

求证: .

证明 设.

，又因为

，

所以，所以.

例5 求证:.

证明 设，，可得.那么

=

=

3.5 解决有关距离的问题

复数加减法的几何意义，往往可以作为解题的方法，通常用三角不等式，当且仅当时，左边的不等式可以取等号，当且仅当右边的不等式取等号。^[3]

例6 求的最大值。

分析 这题实际上可以转换为几何问题中的距离问题来解决，将题目中的函数化为，实际上也就是两动点到原点的距离之差大小的问题，动点设为，。

解 令，，因为，可得

，当且仅当时，即且，解之得且时，取.

例7 设四边形为圆O的内接四边形，依次为的垂心，求证：在同一圆上，并确定该圆心的位置。

解 首先需要建立一个复平面，复平面的原点选取圆的圆心，设内接四边形的四个点分别对应的复数为,可得.

由三角形的垂心公式可以推出，点所对应的复数为。取平面上一点，并且这个点所相对应的复数为，由复数加减法的几何意义可得，同理，，则，所以得出,四点共圆。

3.6 解决有关共线的问题

例8 现一个平面中有四个点，这四个点中，任意取三个点都不会在一条直线上，这四个点分别为求证:.

证明 令复数分别对应点经过计算可得

由模的不等式可得

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