论文总字数：4476字

摘 要

关键词：一致收敛性，分析性质，连续性，可积性，可微性

Abstract: It is summerized and discussed these general prineiples and methods which discuss the property of analytic of limit functions of functions sequences and sum functions of series of functions,including continuity, differentiability and integrability by the using of uniform convergence.

Keywords: uniform convergence, analyze the nature,continuity,differentiability,integrability

目 录

1 引言 4

2 预备知识 4

3 一致收敛性在证明连续性上的应用 6

4 一致收敛性在证明可积性上的应用 7

5 一致收敛性在证明可微性上的应用 9

结 论 12

参考文献 13

致 谢 14

1 引言

一致收敛是函数列或函数项级数的一个重要性质，它的定义是：若给定任意一个正数，能够找到一个不依赖于的正整数，使得当时，在区间上的一切都适合不等式

,

就叫做级数在区间上一致收敛.

判别函数列一致收敛一般用定义和狄尼定理，判别函数项级数的一致收敛时，通常用魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法或者直接根据一致收敛的定义进行判别.

函数列与函数项级数是高等数学的重要内容，常见的教材对函数列与函数项级数的几个重要分析性质( 连续性、可微性、可积性) 进行了详细的讨论，从而为研究多元函数的微分学与积分学奠定了较好的理论基础.有效地判别函数列或函数项级数的一致收敛对进一步研究函数列或函数项级数的性质起着非常重要的作用.本文主要在函数项级数与函数项级数一致收敛性的基础上讨论函数项级数与函数项级数的连续性、可积性、可微性.

2 预备知识

定理1^[1] 设函数列在上一致收敛于，且对每个，，则和均存在且相等.（*）

证 先证是收敛数列.对任意，由于一致收敛，故有，当和任意和正整数，对一切有

从而

这样由柯西准则可知是收敛数列.

设.再证

由于一致收敛于及收敛于，因此对任意，存在正数，当时，对任意，

和

同时成立.特别取，有

，

又，故存在，当时，

.

这样，当满足时，

，

即.

这个定理指出：在一致收敛的条件下，中两个独立变量与，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换，即

.

类似地，若在上一致收敛且存在，可推得；若在上一致收敛且存在，则可推得.

由此定理可得到以下定理.

3 一致收敛性在证明连续性上的应用

定理2^[1] 若函数列在区间上一致收敛, 且每一项都连续, 则其极函数在上也连续.

证 设为上任一点.由于，于是由定理（*）知亦存在，且，因此在上连续.

注 若各项为连续函数的函数列在区间上其极限函数不连续，则此函数列在区间上不一致收敛.

定理3^[2] 若级数的各项的在区间上都是连续函数，而且级数一致收敛，则它的和在该区间上也是连续函数.

例1 确定下列函数的定义域并研究它们的连续性.

（1）；

（2）.

解 （1） 由于，故当时，级数绝对收敛；当时，级数发散；当时，通项不趋于零，因而级数也发散.所以，的定义域为.

下面证明在内连续：

设，则当时，有

因为时，已知级数收敛，故级数在上一致收敛，从而在该区间上连续.由于可以任意小，故知在内连续.

（2）将函数拆成两部分之和，即

先看级数，由狄利克雷判别法可知它在整个数轴上一致收敛.所以其和函数在整个数轴上连续.

再看级数，由于对于任意的，当时，由于而收敛，故级数在上一致收敛.从而其和函数在上连续.由于其中的是任意取的，所以，可知其和函数在整个数轴上连续.

综上所述，作为这两个级数的和在整个数轴上连续.

例2^[3] 不连续的函数列可否一致收敛于连续函数？

解 可以，如函数序列

其中

则在上每一点都不连续，但由于

故当时，在上一致趋于零，即一致收敛于显然是连续函数.

此例说明不连续函数的序列仍可以是一致收敛于连续函数.

4 一致收敛性在证明可积性上的应用

定理4^[4] 若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则

=. （1）

证 设为函数列在上的极限函数.由连续性定理可知，在上连续，从而与在上都可积.

因为在上（其中表示一致收敛），故对任给正数，存在，当时，对一切，都有

.

再根据定积分的性质，当时有

.

这就证明了等式（1）.

这个定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算的顺序可以交换.

定理5^[5] 若级数的各项在区间上都是连续函数，而且级数在上一致收敛于和函数，则它可以逐项积分，即

其中、是上任意两点，并且级数也一致收敛.

例3 试问下式中在积分号下取极限合理否？

解 由于

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