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摘 要

探讨如何在常微分方程的学习过程中利用变分法解决相关问题以及变分法使用的关键，从而提高学生对变分法概念的理解，更好地运用变分法解决问题。特别地，我们研究了变分法在欧拉方程中的应用。

关键词：常微分方程，变分法 ，欧拉方程

Abstract：Discusses how to use calculus of variations in ordinary differential equations and use the key of calculus of variations, so as to improve students" understanding of the concepts of calculus of variations, better use calculus of variations to solve the problem. Particularly , we study Euler equation by using calculus of variations.

Keywords：Ordinary differential equation，calculus of variations，Euler equation

目 录

1 前言 4

2 古典变分法问题举例 4

3 变分法的基本概念 7

4 变分法在欧拉方程中的应用 9

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1 前言

变分法也称变分方法，它是属于数学分析的一个分支，并且它是研究依赖于一些函数的积分型泛函极值的一门科学。总的来说，求泛函极值的方法被人们称作变分法，那么求泛函极值的问题则被人们称作变分问题或者变分原理。数学家克莱罗于1733年发表了关于变分法的第一篇论文《论极大极小的某些问题》，数学家欧拉于1744年发表的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》标志的变分法的正式诞生。在拉格朗日给欧拉的一封信中变分法这一词被首次提出，拉格朗日当时称它为变分方法，而后欧拉在一篇论文中提出了变分法这一词。变分法这一门科学的命名就是这样来的。变分法是泛函分析的一个重要组成部分，但是泛函分析是在变分之后才有的。更多地研究情况，参见文献和书籍[1-8]。

本文主要通过举出几个古典变分问题的例子，来探讨变分法的基本概念以及变分法在欧拉方程中的应用。

2 古典变分法问题举例

泛函的极值问题是变分法的基本问题，为了阐述变分法的基本概念，先列举几个古典变分问题的实例。

例1 .最速降线问题。这个问题也被数学家称作捷线问题，是历史上最早出现的变分法问题之一，并且人们认为它是变分法的发展起源。伽利略在1630年首先提出了这个问题，并于1638年系统地研究了它，但是当时他对自己的结果持怀疑态度，认为这条曲线是一段圆弧。对变分法的实质研究是约翰·伯努利写给他哥哥雅克布·伯努利的一封信中证求该问题的解开始的。问题的提法是：“设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两个点，在所有连接A到B的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受到重力的作用且初速度为零的质点从A到B沿着这条曲线运动时所需的时间最短。”

解 质点的运动时间不仅取决于路径的长短，而且与速度是有关系的。连接A和B两点的所有曲线中以直线段AB最短，但它未必是质点运动时间最短的路径。现在来建立这个问题的数学模型。如下图1，取A点为平面直角坐标系的原点，x轴置于水平位置，y轴正向朝下。显然，最降速线在这个平面内，于是A点的坐标为，设点B的坐标为。取连接A，B两点的曲线方程为

（2.1.1）

它在区间的两个端点满足的条件为

（2.1.2）

设为曲线上的任一点，则根据能量守恒定理可得下面的关系

（2.1.3）

该式子中，是重力加速度，故有

(2.1.4)

还有一方面，质点的运动速度还可以表示成

= == (2.1.5)

根据上面的两个式子消去并且进行积分，得到质点沿着曲线从A点滑向B点所用时间为

=

显然时间是依赖于的图像的，去不同的函数，那么就会有不同的数值与其相对应。这样，简而言之捷线问题在数学上就转化为在满足条件（2.1.2）的所有函数（2.1.1）中，求使得积分（2.1.6）取到最小值的函数。这个问题已经被伯努利兄弟等人解决，但这种问题的一般解法直到后来才有欧拉和拉格朗日创立。

O

A(0,0)

X

Y

B()

mg

v

图1

例2．短路程问题。这个问题是约翰·伯努利在1697年率先提出。其提法为：在光滑的曲面上给定点和 (见图2)，在这个曲面上求连接这两点的一条最短的曲线C。类似于这样，在曲面上两点之间长度最短的曲线就称为短程线或者测地线。

解 设这条曲线的方程为

(2.2.1)

式子中为连续可微的函数，因为曲线在曲面上，所以和应该满足约束条件

(2.2.2)

根据高等数学可知，曲线（1）的长度为

= （2.2.3）

这样一来，短路程问题即可归纳为在满足条件（2.2.2）的情况下，寻求过A，B两点的方程（2.2.1），使得积分（2.2.3）取得最小值。短程线的变分问题也被人称作条件极值问题。

图2

例3.等周问题。在平面上给定长度L的并且所有不相交的光滑封闭曲线中，求一条能围成最大面积的曲线。

解 设封闭曲线的参数方程为

(2.3.1)

式子中，和是连续可微的函数，并且,分别对应于封闭曲线的起始点和终点。

再设封闭曲线的长度是L，即

== （2.3.2）

由格林公式，这条曲线所围成的面积是

= （2.3.3）

所以，等周问题转换为数学语言就是在满足条件（2.3.2）的所有曲线（2.3.1）中，求得使积分（2.3.3）取最大值的曲线。

上述的三个关于古典变分的例子在历史上对于变分法的发展都有着很大的影响，他们都是早期验证数学分析的新方法的试金石。从上述的例子可以看出，所取的未知曲线或者未知曲面决定着积分给出的变量T、L和A的极值。而这些未知的曲线曲面通常是由若干个函数构成，因此这些由积分给出的变量是依赖于这些未知函数及其导数的变量，而这些未知函数及其导数在变分时是独立变化的，起着自变量的作用，所以又称其为自变函数。

1. 变分法的基本概念

为了更方便的探讨变分法的概念，我们需要了解一些与变分法有关的概念。

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