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摘 要

上极限和下极限是分析学中的重要内容，在很多问题中发挥着重要的作用.本文通过数列上极限和下极限性质的探讨，给出上下极限的几种应用，如数列极限、级数敛散性问题以及Fatou引理等.

关键词：极限，上极限，下极限，聚点，应用

Abstract: the upper limit and the lower limit is important content in analysis and plays important role in many mathematical problems. In this paper, through the discussion of the properties of upper limit and lower limit, we give some applications of upper limit and lower limit, such as the limit of number series, the convergence and divergence of series and the Fatou’s lemma.

Key Words: Limit, the upper limit, the lower limit, the cluster point, applications

目 录

1引言………………………………………………………………………………………4

2 上极限和下极限的定义与性质……………………………………………4

2.1 上极限和下极限的定义……………………………………………………4

2.2 上极限和下极限的性质……………………………………………………5

3 上极限和下极限的应用………………………………………………………6

3.1 上极限和下极限在求数列极限问题中的应用……………………6

3.2 上极限和下极限在级数问题中的应用………………………………9

3.3 上极限和下极限概念在Fatou引理中的应用……………………10

结论………………………………………………………………………………………11

参考文献………………………………………………………………………………12

致谢………………………………………………………………………………………13

1 引言

极限是数学分析中一个重要的理论部分，上极限和下极限是函数极限的自然推广，其在数学研究过程中有着非常重要的作用.函数极限不仅是数学分析中最基本的知识点，更是其他学科重要的组成部分，由于上极限和下极限的引入，使得极限多了一条判定定理对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路，有着重要的意义.上极限和下极限的应用能使对极限问题的分析更加深入.正确的理解和认识数列、函数的上极限和下极限，有利于更好地认清数列尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态.上极限和下极限的概念在许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用.因此，我们有必要对已有文献关于上极限和下极限的定义及相关理论的研究结果做一个综概括.借此加深我们对实变函数、数学分析等所学课程内容的理解，深刻掌握其理论的应用，更好地培养自己的创新思维.本文将从上极限和下极限的定义、性质、应用三个方面做深入细致的探讨，期望对数学分析的学习有所帮助，重点探讨上极限和下极限的在几个方面的应用可参阅文献[7-8].

2 上极限和下极限的定义及定理

2.1 上极限和下极限的定义

定义2.1^[1] 有界点列（数列） 的最大聚点 与最小聚点 分别称为 的上极限与下极限，记为

， .

定理2.1^[1] 有界无限点列（数列） 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.

证 因为为有界点列（数列），故存在 ，使得 ,记 .

现将 等分成两个子区间.因为无限点列（数列），故两个子区间中至少有一个 含有中无穷多个点，记此子区间为 ，则 ，且

.

再将 等分成两个子区间，则其中至少有一个子区间 含有 中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为 ，则 ，且

.

将此等分子区间的手续无限的进行下去，得到一个区间列 ，它满足

，

即 是区间套，且其中每一个闭区间都含有 中无穷多个点.

由区间套定理，存在唯一的一点 ，对任给的 ，存在 ，当 时有 。从而 内含有 中无穷多个点， 为 的一个聚点.

由定理2.1立即可得：任何有界点列（数列）必存在上下极限.

定义2.2^[2] 对于有界函数 ，它的所有子列的极限所组成的数集的最大值叫做此函数 的上极限，最小值叫做此函数的下极限.

2.2 上极限和下极限的性质

定理2 .2^[3]对任何有界点列（数列） 有

.

定理2.3^[3] 的充要条件是 .

证：必要性.设,则 的任一子列都收敛于 ,存在 的两个子列，其极限分别等于 的上极限和下极限.又 的任一子列都收敛于A ,

故这两个子列的极限都是A.所以

.

充分性.设,由数列极限定义

,

则.

推论2.1 若数列 收敛，则.

定理2.4^[4] 若有界数列 、 满足：存在 ，当 时，有，则

， .

3 上极限和下极限的相关应用

3．1 上极限和下极限在求解数列极限中的应用^[5]

数列极限是极限理论中较为基础的一类，而其上极限和下极限的有关知识又作为数列极限理论中的自然延伸，对它进行探讨能够促使我们加深理解数列极限的本质.数列上极限和下极限的相关知识再求解数列极限等问题中有着广泛的应用，从而可为这类问题的解决开辟了一条全新的思路.

下面，我们给出它在求解数列极限中的一个应用

例3.1 设 ， ,定义

（3.1）

试证：

证 易得到 ,因而另， 存在，而且 .

由此可以得到 .

事实上，如果 ，则有 ，因而 的极限存在，且等于零，在（3.1）中令， 便可得到矛盾.

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