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摘 要

本文研究了一类带有阶段结构的捕食模型，其中捕食者种群分为不成熟捕食者和成熟捕食者．运用线性化方法,讨论了该模型正平衡点的局部渐近稳定性；然后,考虑到空间因素,在系统中引入扩散项，进而考虑了扩散捕食系统正平衡点的局部渐近稳定性．

关键词：捕食系统，扩散，正平衡点，局部渐近稳定性，线性化方法

Abstract: This paper is concerned with a class of predator-prey model with stage structure and the predator population is divided into two classes, i.e., the immature predator and mature predator. By applying the method of linearization, we discuss the local asymptotical stability of the positive equilibrium of is model. Considering the spatial factor, the diffusion is introduced into this system and the local asymptotical stability of the positive equilibrium of diffusive predator-prey system is investigated.

Keywords: predator-prey system, diffusion, positive equilibrium, local asymptotical stability, the method of linearization

目 录

1．引言 ………………………………………………………………………………… 3

1.1研究背景 …………………………………………………………………………… 3

1.2模型介绍 …………………………………………………………………………… 5

2. 常微分捕食系统正平衡点的稳定性 …………………………………………… 6

2.1平衡点的存在性 …………………………………………………………………… 6

2.2正平衡点的局部稳定性 ………………………………………………………… 7

3．扩散捕食系统正平衡点的稳定性 ……………………………………………… 8

结论 ………………………………………………………………………………………… 12

参考文献 …………………………………………………………………………………… 13

致谢 ………………………………………………………………………………………… 14

1. 引言

1.1 研究背景

生物数学是生命科学与数学之间的交叉学科,它不仅用数学方法研究和解决生物学问题,也对与生物有关的数学理论和方法进行深入的研究． 近几十年来, 生物数学发展迅速并取得大量研究成果, 产生了许多重要的分支学科, 如种群动力学、流行病动力学、化学反应动力学、人工神经网络、医学动力学等。生物数学在渔业、环境科学、生命科学等方面有着广泛的应用, 积极推动了人类生产实践活动和科学研究的发展. 因而, 生物数学已成为当今世界科学研究最为引人注目的领域之一，参见[1-4]．

种群(population)动力学作为生物数学的重要分支, 一个重要研究内容是运用微分方程的理论和方法来研究描述种群与环境、种群与种群之间相互作用的种群动力学模型.其宗旨之一是定性或定量地去研究自然现象, 以期更好地理解自然．实际上,许多模型的定性性质是源于自然界本身、 蕴含于建模过程的．由于本文主要讨论捕食模型,所以有必要对和本文密切相关的模型的发展过程作一简单介绍．

最早的单种群动力学模型是由英国人口学家马尔萨斯(Malthus)在1798年的著作《人口学原理》中提出的, 即如下微分方程模型:

, (1.1)

其中表示在时刻的人口密度， 表示种群的内秉增长率.这就是著名的Malthus人口模型,它所预测的种群呈指数方式增长, 但该模型仅在资源无限充足且种群的年龄结构和生存环境不变的情况下有效．

一般来说， 特定环境中的种群的最大数目受食物、生存空间等因素的制约。1938年, Verhust在Malthus人口模型的基础上增加密度制约因子,提出了下面的更加切合实际的模型, 即著名的Logistic模型：

　 , 　 (1.2)

其中正常数表示环境容纳量．

由于自然界中的任何种群都不是孤立存在的,而是与生物群落中的其他种群密切相关．种群之间的相互作用关系主要有：竞争、互惠合作、捕食与被捕食等。最初反映两种群的相互作用的经典模型是由美国生物学家 Lotka [5] 和意大利数学家Volterra [6] 提出的，即

, (1.3)

其中, ,分别表示食饵和捕食者的种群密度且模型中所有参数均为正数．该模型假设生态环境中仅有食饵和捕食者两种群有相互作用关系,而且除了捕食者猎获食饵种群外每个种群对自身的发展不具制约作用．

经典的Lotka-Volterra捕食模型假设捕食者与食饵之间是线性密度制约关系,但这种假设在许多情况下不够合理． 例如，在种间相互作用上，文献[6]中所获得的实验数据与这种模型进行数值模拟所得数据差异较大．

下面的所谓Gause型捕食模型反应种群之间的相互关系就更加一般, 即

, (1.4)

其中为功能反应函数,反应捕食者捕获食饵能力的不同或自然界能量传递模式的差异．功能反应函数选取不同对捕食系统的动力学行为有重要影响．

为更准确的描述不同种群和环境下的捕食关系,各种功能反应函数被陆续提出.．如, 1913年, Michaelis和Menten在研究酶反应时提出了如下反应函数

, (1.5)

其中表示物种的最大增长率, 为半饱和常数．1959年, Holling[6]在实验的基础上运用这个函数作为捕食系统中捕食者功能反应函数,因而(1.5)又称为Michaelis-Menten型或Holling-II型功能反应函数．

对上述常微分方程模型以及更一般的捕食模型, 其理论研究主要涉及系统平衡点的稳定性、极限环的存在性、分支等问题，取得了丰硕的成果, 参见文献[7-10]．

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