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摘 要

关键词: 高次方程，重根，方法

Abstract：The combination of different examples, summary of system and elaboration, the roots of polynomials ,the intermediate value theorem, the zero point theorem to solve the derivative of various methods and techniques in determining the root of equation. In order to determine the scope of equation root, weight number.

Keywords: High order equation, Root weight, Method

目 录

1 引言 4

2 多项式的重根在求高次方程根中的应用 4

3 零点定理在求高次方程根中的应用 6

4 罗尔中值定理在求高次方程根中的应用 8

总 结 11

参考文献 12

致 谢 13

1 引言

高次方程是现行教学大纲高中代数教材的终结．从多项式函数及其导数以及高阶导数的零点之间的关系出发，应用多项式的导数以及高阶导数探求高次方程的根的性质包括根的范围、个数和重数等问题．二次、三次和四次的方程有公式解，而三次、四次的高次方程的解法直到世纪上半叶才得到且求根公式非常复杂．对于次以上的方程则没有公式解．因此,对于高次方程,只能对一些结构特殊的方程我们可以求出它们的初等解．微分中值定理是微分学理论的主要组成部分，在导数应用中起着承上启下的作用．因此借助罗尔中值定理、介值定理、零点定理、多项式的重根等来探讨导数在确定高次方程根的问题.

多项式的重根 设,称为的重根，如果是的重因式．当时，称为单根；当时，称为重根．因此，一个多项式在数域中有重根，则它必有重因式．中次()多项式在中至多有个根．

零点定理（根的存在定理） 若函数在闭区间上连续，且与异号（即），则至少存在一点，使得,

即方程在上至少有一个根．

罗尔中值定理 若函数满足如下条件：

在闭区间上连续；

在开区间上可导；

则在上至少存在一点，使得．

在一些数学分析的解题方法的著作中，时常会看到有关导数在确定高次方程根方面的的题目，例如文献[1-6].在本文中，将系统总结在大学里学习中数学分析的体会,并利用多项式的重根、零点定理、罗尔中值定理来解决导数在确定高次方程根的一般原则方法及注意事项进行阐述和概括.

1. 多项式的重根在求高次方程根中的应用

例 证明多项式没有重根．

证 假设有重根，则于是

，

故．然而，零不是的根，这就产生了矛盾．所以，没有重根．

例 当是什么数时，有重根？

解

应用辗转相除法，得

因此，在而且只在，即时，有．所以，当时有重根．

例 证明 不能有不为零的重数大于2的根．

证 记 ，则

，

此时 的非零根都是多项式的根．

令，则．由于没有不等于零的根，所以没有不等于零的重根，因而没有不等于零的重根，故没有不为零的重数大于2的根．

例 如果是的一个重根，证明是方程

的一个重根．

证 由于

=，

，

由于是的重根，所以是的重根．

又代入验算可知是的根，设是的重根，则是的重根，是的重根，所以有，即．故是的重根．

需要注意：中的多项式在中有重根的必要条件是在中有重因式，但这不是充分条件．即，可能在中有重因式，但是在中没有重根．

1. 零点定理在求高次方程根中的应用

例 证明 任一实系数奇次方程至少有一个实根．

证 设有一个奇次方程为，其中．不妨设，令，则

，

．

由知，存在正数，使得．由知，存在负数，使得．于是，与异号．由零点定理知，在内至少有一个根．故任一实系数奇次方程至少有一个实根．

例 设，证明 方程，当为奇数时恰有一根，当为偶数时无实根．

证 为奇数时，因

，

所以，而当时，

,

故是严格递减的．又因

，，

且在上连续，由零点定理知，方程=0在上至少有一个根．又由于是严格递减的，所以，当为奇数时，方程有且仅有一个实根．

为偶数时，因

，

．

当时， ．

当时，；当时，．而．故在处取最小值，但时，，当时，亦有

．

所以，方程．当为偶数时无实根．

例 证明方程有且仅有一个正实根．

证 令，则在上连续，且，，由闭区间上连续函数的零点定理，知在内至少有一个零点，即方程在内至少有一个实根．

由于，．即在内是单调增加的，所以在内至多有一个零点．综上所述，在内有且仅有一个零点，而在内至少有一个零点，所以有且仅有一个正零点，即方程有且仅有一个正实根．

例 确定方程的实根个数．

证 令，则

，

令，得，，有可导点．那么在上

，

．

故在上至少存在一个根．由于在上是大于零，即在上是单调递增函数．由零点定理知，在上有且只有一个实根．我们利用相同的方法，也能求到方程在区间和区间上有且只有一个实根，即在，上且只有一个实根．即在上有且只有三个实根，即方程有且只有三个实根．

例 证明方程在内至少有一个实数根．

证 令，由于在内连续并且可导．

因，，由零点定理，知在内至少有使得，即方程在内至少有一个实数根．

4 罗尔中值定理在求高次方程根中的应用

例 已知

．

证明 多项式至少有一个实根．

证 设

．

当时,有．

当时，有．

由罗尔定理，至少存在一点，使

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