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摘 要

反证法是对数学命题进行间接证明的一种有效方法。微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，其中反证法的应用，可以降低题目的复杂程度。本文就微积分学中几类常见的例题并着重分析一些具有反证法使用特征的典型范例，以此来解决我们在学习微积分过程中遇到的一些难题。

关键词：反证法,微积分,开覆盖,凸函数

Abstract:Reduction to absurdity is an effective method of indirect proof on teaching proposition. Calculus is the study of the function of differentiation, integration and concepts and applications of the branch. The apply of reduction to absurdity can reduce the complexity of the subject. In this paper, the calculus of some common examples are focuses on some of the typical examples which show the characteristics of reduction ad absurdity. By which can solve some of the problems we have encountered in the process of learning calculus.

Keywords：reduction to absurdity,differential and integral calculus,open cover,convex function

目录

1 前言…………………………………………………………………………… 4

2 反证法的概述………………………………………………………………… 4

2.1 反证法的定义及实质……………………………………………………… 4

2.2 数学符号使用说明………………………………………………………… 4

2.3 反证法的步骤和特点……………………………………………………… 5

2.4 反证法的逻辑依据………………………………………………………… 5

3 反证法在微积分学证明题中的应用举例…………………………………… 6

3.1 对于待证命题的结论以否定形式出现，可以考虑用反证法…………… 6

3.2 对于待证命题的结论以“至多…”，“至少…”的形式出现，可以考虑用反证法………………………………………………………………………… 7

3.3 对于待证命题的结论以“唯一”或“必然”的形式出现，可以考虑用反证法……………………………………………………………………………… 9

3.4 对于待证命题的结论以不定式的形式出现，可以考虑用反证法………11

4 反证法的正确运用………………………………………………………… 13

参考文献…………………………………………………………………………14

致谢………………………………………………………………………………15

1 前言

数学证明，是数学教学中的一个重要组成部分。通过数学证明，有助于弄清概念与概念之间，命题与命题之间以及条件与结论之间的本质联系，加深对数学知识的理解，培养和发现逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。数学证明的方法是多样的，不胜枚举的，但无外乎分为两大类：直接证明和间接证明，而在间接证明中，反证法是最常见的一种，是证明题众多方法中一个有力的论证手段，它除了论证的功能外，还有发现的功能。它和分析法、综合法一样，有着悠久的历史，应用也相当广泛，是数学证明的大法。一个命题，当我们使用直接证明不易或无法证明出来时，不妨尝试用反证法来证明。而微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，其中反证法的应用，不仅可以降低题目的复杂程度，而且也能促进数学逻辑思维方式的改变，利于学生数学思维方式的培养。

本文就微积分学证明题中几类常见的例题并着重分析一些具有反证法使用特征的典型范例，以此来解决我们在学习微积分过程中遇到的一些难题，从而提高学生学习数学的兴趣。

2 反证法的概述

2.1 反证法的定义及实质

反证法的定义有很多，本文采用参考文献中的定义，即反证法是一种通过确定与论题相矛盾的反论题的虚假，根据排中律，由假推真，来证明论题真实性的一种论证方法。即先假设命题中结论的反面成立，结合已知的定理条件，进行正确的推理、论证，得出和命题中的题设或前面学习过的定义、公理、定理或已知的事实相矛盾，或自相矛盾的结果，从而断定命题结论的反面不可能成立，因而断定命题中的结论成立，这种证明方法就叫做反证法。

反证法又称为归谬法，是间接证明的一种方法，它的实质是通过证明等价命题的正确性来肯定原命题的真伪。也就是说，反证法是从结论的反面入手，说明结论不容否定，从而证明结论的正确性。其核心是否定题设后去找矛盾，至于怎么去找矛盾，这是反证法的关键点，同时也是它的难点所在。

总之，用反证法去证明一个真命题，最后一定要出现矛盾，即与题设矛盾，或者导致题设自相矛盾，或出现一个自相矛盾的结果。

2.2 数学符号使用说明

现就本文中即将使用的一些数学符号语言加以解释说明:

（1） 命题“若p则q”的数学表达式为“”．

（2） 命题的否定即非的数学表达式为“”．

（3） 集合与集合的交集的数学表达式为“”．

（4） 集合与集合的并集的数学表达式为“”．

2.3 反证法的步骤和特点

一般情况下，反证法证明命题有以下三个步骤（原命题为“若p则q”，其逻辑表达式为）：

1. 提出反设：否定原命题的结论（即设），假设结论的反面成立（即）．

1. 进行推理：从“反设”出发，结合已知条件，进行严格的逻辑推理，推导出逻辑矛盾．

（3）得出结论：由逻辑矛盾判定“反设”不成立，从而肯定命题结论的正确性（即　为真）．

反证法与一般的证明方法不同，它采用的是逆向思维方式，即不直接证明结论，而是间接的去否定与事物相反的一面，从而得出事物真实的一面，是一种让步的、间接的证明方法。从反证法的证题方法可以看出，它的最大特点是：否定原命题的结论，肯定原命题的条件，由此导出矛盾。

2.4 反证法的逻辑依据

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