论文总字数：3375字

摘 要

关键词：格林公式，高斯公式，斯托克斯公式,转换.

Abstract：Summarizing and combining different examples, the system of using green formula, gauss formula and stokes formula to solve all kinds of methods and techniques.

Key words: Green formula,Gauss formula,Stokes theorem,transformation.

目 录

1 引言 5

2 预备知识 5

2.1 格林公式定理 5

2.2 高斯公式定理 6

2.3 斯托克斯公式定理 6

3 格林公式的例题分析 6

4 高斯公式的例题分析 9

5 斯托克斯公式的例题分析 11

结 论 12

参考文献 13

致 谢 14

1 引言

格林公式是斯托克斯公式的二维特例，以英国数学家乔治·格林命名的.格林公式不仅是联系二重积分和曲线积分的桥梁，更是与定积分的牛顿——莱布尼茨公式有异曲同工之妙,都是连接内部和边界.

格林公式还与高斯公式和斯托克斯公式相关联.格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间比区域上的三重积分与其边界曲面积分之间的关系.其实格林公式就是二重积分与曲线积分之间的转换，而高斯公式就是三重积分与曲面积分的转换；而斯托克斯公式是格林公式的推广，把曲面积分与沿曲面边界的曲线积分联系起来.在斯托克斯公式中，若边界在面上，则有,即得到了格林公式.

格林公式可以用来计算平面图形的面积，它给出了沿着闭曲线的曲线积分与所包围的区域上的二重积分之间的关系.对坐标的曲线积分用参数代替之后就是一个简单的定积分，只不过格林公式是在满足被积曲线光滑且围成闭区域并且被积函数在这个区域满足一阶偏导连续才可以化成二重积分求解.在用格林公式时规定了正反方向，二重积分是在规定了正方向的前提下计算的，默认逆时针为正，如果选顺时针则二重积分前面要加负号.然而，有些问题并不能直接用格林公式.本文将系统总结和探讨适合应用格林公式，高斯公式和斯托克斯公式求解的各种题目类型，求解的技巧和注意事项.

2 预备知识

2.1 格林公式定理

格林公式联系了展布在一个平面区域上的二重积分与沿这个区域边界的曲线积分之间的关系，即在以下两个条件下：

闭区间的边界曲线与任一平行于坐标轴的直线的焦点不多于两 个；

函数,具有一阶连续偏导数.

有结论（格林公式）：

,

其中曲线积分是沿路线的正向取的，的正向是指，当人沿着此方向前进时，区域始终位于它的左侧；二重积分是展布在区域之上.

设闭区域D是由分段光滑曲线围成，函数,在D上具有连续一阶偏导数，则有 ，其中取正向.

2.2 高斯公式

设函数在闭区间上具有一阶连续偏导数，则

，

其中是闭域的边界曲面，且取外侧.

是任意有向封闭曲面处处成立.

2.3 斯托克斯公式

设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与的侧符合右手规则，函数在曲面（连同边界）上具有一阶连续偏导数，则有 ：

.

3 格林公式的例题分析

例1 计算其中为由曲线 所围成的区域的边界.

解 因为

所以

=

=

=.

例2 计算椭圆 的面积.

解 椭圆的参数方程为

，

参数由至是，曲线的方向为逆时针方向，而且,由曲线积分计算公式，得椭圆的面积为

=

=

当时即为圆的面积.

例3 计算重积分 ，其中是以为顶点的三角形区域，如图1.

图1

解 格林公式沟通了重积分与线积分之间的联系，可以通过算线积分来求值.化为线积分为：

将视为，则可知

,

应用格林公式得

.

计算上式右端第一个积分时，注意到

,

所以

=.

同理

=.

=.

所以

.

例4 计算，方向是顺时针方向.

解 利用格林公式计算，因为

故

=

=

=

=.

4 高斯公式的例题分析

例5 利用高斯公式计算

其中是球面 的外侧表面.

解 ,

,

.

由高斯公式

=

=

=

= .

例6 已知，其中是在半空间内任意的有向光滑闭曲线.在内具有连续的一阶导数，且，求.

解 所给积分满足高斯公式的条件，

是任意有向封闭曲面处处成立，

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