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摘 要

求动点轨迹方程一直是初等数学中的重要内容之一.但在一些求动点轨迹方程的问题中,不少同学感到无从下手,特别是不容易找到动点坐标的直接关系的问题.因此,如何使学生掌握求解动点轨迹方程的方法,显得特别重要.故本文在这里归纳出若干方法,以提供大家参考,学习.

关键词：轨迹,轨迹方程,动点

Abstract：Moving point trajectory equations is one of important contents of mathematics in Elementary mathematics. But in some of the fixed point locus equation of the problem, many students feel unable to start, especially the direct relationship is not easy to find the point coordinates of the problem.Therefore, how to make students master the method of moving point trajectory equations, is particularly important.Therefore, this paper summarized here are several methods to provide your reference, learning.

Keywords: The trajectory,Trajectory equation,Fixed point

目 录

1 引言 4

2 求解动点轨迹方程的几种基本方法 4

2.1 用直接法求解动点轨迹方程 4

2.2 用待定系数法求解动点轨迹方程 6

2.3 用定义法求解动点轨迹方程 7

2.4 用相关点法（坐标转移法）求解动点轨迹方程 9

2.5 用参数法求解动点轨迹方程 10

2.6 用交轨法求解动点轨迹方程 11

2.7 用极坐标法求解动点轨迹方程 13

2.8 用复数的几何意义求解动点轨迹方程 14

结 论 16

参 考 文 献 17

致 谢 18

1 引言

一般来说,符合一定条件的动点所形成的图形或符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹,包含两个方面的问题：一是凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；二是凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）.而轨迹方程,就是与几何轨迹对应的代数描述.求曲线的轨迹方程的问题是解析几何上的基本问题之一.求动点的轨迹方程, 其实质,就是根据题目中给出的若干几何条件, 通过“坐标互化”的原则,将其转化为探求变量之间相关关系的问题.在探求关于圆锥曲线的有关问题时, 要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹时的作用, 当动点满足已知曲线的定义时, 就可以直接得到所求问题的方程.在中学阶段一般只研究平面上的动点的轨迹.求轨迹方程的基本方法有直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法、待定系数法等.

2 求解动点轨迹方程的几种基本方法

2.1 用直接法求解动点轨迹方程

若题目明确地给出了动点在运动过程中所满足的量的几何关系,则可以直接将这些量的几何关系通过建系、设点、列式、化简、讨论等相关步骤得出所求的动点轨迹方程.多见于距离的和、差、积、商（比) 的关系.

例1 如图1，已知左、右焦点分别为,的双曲线,过点的动直线与双曲线相分别交于两点．若动点满足（其中为坐标原点）,求点的轨迹方程.

解 (1)由条件知,,设,,,

则

,,,

由

的中点坐标为．

当不与轴垂直时,

,

即

．

又因为两点在双曲线上,所以

,,

两式相减得

,

即

．

将

代入上式,化简得

．

当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是

．

在利用“直接法”求解动点轨迹方程时应注意两点：一是在建立坐标系时应当充分地考虑问题中的垂直与对称性,以便减少运算量；二是要考虑方程化简前后的同解性、必要性,应该舍去增解补回失解.

2.2 用待定系数法求解动点轨迹方程

这种方法适用于动点的运动轨迹曲线已知或者可以直接利用已知条件推断出它的轨迹的曲线方程.其一般解题步骤为：先假设出对应类型的轨迹方程,再求出所假设方程中的待定系数.

例2 如图2, 直线和直线相交于点,且, 点. 以, 为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点的距离相等. 若为锐角三角形, , , 且. 建立适当的坐标系,求曲线段的方程.

解 如图3,建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.

依题意知，曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点.

设曲线段C的方程为

,

其中分别为,的横坐标,.

所以

,

由

,.

得

(1)

(2)

由①,②式联立解得

.

再将其代入①式中并由解得

或.

因为是锐角三角形,所以,故舍去

所以由点在曲线段上,得

.

综上得曲线段C的方程为

.

本题是考查用“待定系数法”求动点轨迹方程,找到问题的核心所在,能正确的设出参数方程并抓住题中所给信息与所求参数方程的联系,是解决该问题的关键.

2.3 用定义法求解动点轨迹方程

如果动点的运动规律满足某一种曲线的定义,则可以根据曲线的定义直接得到动点的轨迹方程.此方法多用于求圆锥曲线方程.

例3 某检验员通常用一个直径为和一个直径为的标准圆柱,检测一个直径为的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少？

解 设直径为的三圆圆心分别为、、,问题转化为求两等圆、,使它们与相内切,与、相外切.

建立如图4所示的坐标系,并设的半径为,

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