论文总字数：5473字

摘 要

关键词：极限，零点定理，柯西不等式，拉格朗日中值定理

Abstract: This article makes certain sense to mathematical teaching practice, which studies the function of advanced mathematical pedagogics in college entrance examination by analyzing the mathematical test questions.

Key words: limit，zero point theorem，Cauchy inequality，Lagrange mean value theorem

目录

1 引言 4

2 高等数学方法在解高考题中的应用 4

2.1 以高等数学概念为依托 4

2.2 从极限的角度 7

2.3 泰勒公式的低阶近似函数 8

2.4 利用高等数学中的一些常用定理 10

2.4.1 零点定理 11

2.4.2 柯西不等式 11

2.4.3 拉格朗日中值定理 12

结论 14

参考文献 15

致谢 16

引言

近年来，随着新课程改革的实施，中学数学教材与之前相比，教学内容变化之大，教材中涉及了很多高等数学的内容. 如映射与函数的定义、导数的定义和几何的意义及常见倒数的求导公式、微积分基本定理等. 新课程改革强调数学课程应该放弃以往的教学模式，提高每个学生所需的数学素养，为每一个学生提供终身学习的基础.

也因此，高考的改革也正在进行不断的深化.

纵观近几年的高考试题，高等数学与初等数学交会是高考创新题的重要题源.这类题型命题新颖，思维价值高，拓宽了学生的视野，能很好地考察考生的阅读理解、知识迁移、分析问题能力和考生的创新意识.这种试题起点高，但落地低，若能够巧妙地运用高等数学知识解决初等数学问题，不仅可以节约学生大量的解题时间和精力，还可以更大程度的去激发学生的思维空间和拓宽学生的知识面，且对教学实践有一定的实际意义.

2 高等数学方法在解高考题中的应用

2.1 以高等数学概念为依托

这一类题型一般可以分为以概念为信息的定义题和利用概念构造新运算的定义题. 题中给出的新概念，新规律，新情境等信息，要求学生正确把握概念实质和运算规律，对其进行分析整理，简明概括，合理迁移，正确解答^[6].

例1 （2010年福建卷理）对于具有相同定义域的函数和，若存在函数 (为常数)，对于任给的正数,存在相应的,使得当且gt;时，总有

，

则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为的四组函数如下^[5]：

1、

2、

3、

4、.

其中，曲线与存在“分渐近线”的是（）.

评注： 本题以数学分析中极限的“”定义为背景，定义“分渐近线”的概念，考察学生运用新知识解决问题的能力.这些函数都是学生平时学习生活中接触过的，并不会感到陌生，但考察角度新，充分考察学生在自然语言和符号语言中进行转化及推理的能力^[5].

解析: 存在分渐近线的充要条件是时，有，且.

对于1，，当时，，所以1不符合.

对于2，一定存在分渐近线.取，因为当时，，且有.

对于3，当时，虽有，但此时，，，不符合分渐近线的条件.

对于4，因为，所以，当时，，取，则有，所以存在分渐近线.

例2 （2010福建卷文）对于平面上的点集 ，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界），其中为凸集的是

评注： 本题源自高等数学中的点集拓扑，给出了一个新的概念“凸集”.不仅考查考生对数学概念的理解和应用能力，同时还考查了考生对图形的理解能力.

解析：对于图1，在图形左上角和右上角里面各取一点，连成线段，所得的线段不包含于原图，所以图1的点集不是凸集.

在图2中，任意连接直线上的两点所得的线段任然在直线上，满足题意所给的凸集定义.

在图3中，任意连接半圆面上两点所得的线段任然在半圆面上，所以图3的点集是凸集.

在图4中，在小圆和大圆上各取一点，连成线段，所得的线段不一定在图4中，所以图4的点集不是凸集.

例3（2006年北京高考）在下面四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有（）.

A. B. C. D.

评注： 以利普希茨条件为背景.若函数在区间上的导函数有界，则存在常数，使对上任意两点，有，此时称函数在区间上满足利普希茨条件.（其中L为的界，即满足的数）

解析： 对于A中的，有

，

当时，有

，

即

.

因而对于区间上的任意，恒成立；

对于B中的，当时，有；

对于C中的, 当时，有；

对于D中的，，当时，有；

因此答案应选A.

此类题型还有，2005年北京崇文区高考模拟题：以闭函数为背景；

2005年湖北高考理科卷6：以凹凸函数为背景；

2006年辽宁卷5（理）：以数域为背景.

2.2 从极限的角度

极限是高等数学中微积分的基础概念，包括数列极限和函数极限，它们都是在无限变化的过程中（ ）的变化趋势.

例4 (2010年高考四川卷理科 8) 已知数列{}的首项，其前项的和为,且

，则＿.

A. 0 B. C. 1 D. 2

解析：由

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