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摘 要

关键词：反证法，数学分析，应用

Abstract: In this paper, we study derivative, integral and the sequence which can be demonstrated by reduction to absurdity in mathematical analysis. Reduction to absurdity and application is of great help to the understanding of the basic concepts in mathematical analysis and the mastering of problem-solving skills.

Keywords: reduction to absurdity，mathematical analysis，application

目 录

1 反证法的基本概念及思想 …………………………………………… 4

2 如何正确找出某些数学分析命题的否命题 ………………………… 4

3 宜用反证法证明的数学分析命题 …………………………………… 5

3.1 函数的单调性问题 …………………………………………… 5

3.2 函数的有界性问题 …………………………………………… 5

3.3 函数的连续性问题 …………………………………………… 6

3.4 函数的极限性问题 …………………………………………… 6

3.5 积分问题 ……………………………………………………… 7

3.6 导数问题 ……………………………………………………… 7

3.7 数列的收敛问题 ……………………………………………… 8

4 运用反证法应注意的问题 ………………………………………… 9

4.1 必须正确否定结论 …………………………………………… 9

4.2 必须明确推理特点 …………………………………………… 9

4.3 必须擅于灵活的运用 ………………………………………… 9

总结 …………………………………………………………………… 10

参考文献 ……………………………………………………………… 11

致谢 …………………………………………………………………… 12

1 反证法的基本概念与思想

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.当我们遇到无法直接下手的命题时候，让我们改变下思维，从结论入手，反向思考一下，我们就会找到解决难题的办法. 我们需要学会构造反证法，这样才能更好地掌握它. 想要将反证法的重要性充分发挥，还需要我们根据具体的命题找出对应的否命题. 同时反证法的解题方法，也根据题目不同，方式多变.

“否定-推理-矛盾-肯定”，是反证法的基本思想. 这种证明方法往往令学生难以理解，主要归结于它的证明过程十分困难，虽然上一步到下一步的论证过程完全符合逻辑，但是它的每一步都是不可能发生的.

反证法通常包括以下三个步骤：

第一步：假定原命题的结论不成立；

第二步：根据反设严密推理直至导出矛盾；

第三步：肯定原命题的正确性.

那种直接证明有很大困难的题目，从题目反面入手往往更加容易.这时候我们就可以使用反证法，不过数学分析的命题多种多样，纷繁复杂. 什么样的题目该用反证法这也是我们需要掌握的.

2 如何正确找出某些数学分析命题的否命题

首先正确的否定命题的结论是我们运用反证法的首要前提.例如命题“”的否定就是“”，但对命题“在上有界”，虽然其否定是“在上无界”，但是想要正确写出否命题，我们还是要对函数有界与无界的定义具有深刻的认识，即“在上有界”是指“存在某个正数，对所有的，使得 成立”，要写出“对所有的”以及“存在”的否定形式是比较困难的.如果命题中出现“对所有的”或“存在”这种量词时，此时我们必须将“对所有的”改为“存在”，“存在”改为“对所有的”，同时还要否定“这件事情发生”.那么“在上有界”的否定，形式应为“对所有的正数，存在，使得成立”.

正确的找出一个命题的否命题，这还是我们需要不断培养的一种思维能力，同时还需要我们不断的探索和总结.

3 宜用反证法证明的数学分析命题

在我们学习数学分析的过程中，我们遇到了形形色色的题目.那么到底什么样的命题适合使用反证法来证明呢？接下来我们便做一个详细的讨论.

3.1 函数的单调性问题

在我们处理函数的单调性问题的时候，通常我们使用定义来证明其单调递增或者单调递减.用惯了定义，我们能否使用反证法来证明呢? 让我们一同分析.

例1 设函数在上连续，对上任意两个有理数，有，则在上为递增函数.

证明 假设存在 ，但（即若不是单调递增函数）.

由于的连续性，对于数,

必定存在使得，

因为有理数具有稠密性，故必存在有理数与，且.

这与假设相矛盾，所以在上为递增函数（严格）.

3.2 函数的有界性问题

分析完了函数的单调性，我们放大思考范围，一同探讨下函数的有界性问题.

例2 试证明：若函数在有限区间内可微，但无界，则其导函数也无界。

证明 设 在内有界，即,取定由拉格朗日中值定理知,在与之间存在，

使得，而，

故，此与已知无界相矛盾，故无界.

3.3 函数的连续性问题

例3 函数在区间上一致连续的充要条件是：，当时，有.

证明 必要性：因为一致连续，故当时，有

.

在已知时，对于，自然数，, 必有，因而.

充分性：设在上不一致连续，则有，

由，取,有

，

当时，有矛盾，所以在上必然一致连续.

上面这道例题我们使用了反证法对连续性的充分性和必要性做了证明，接下来我们就分析一道已知连续性，证明特定性质的题目.

例 4 设在有界闭区域上连续，证明：一定存在点，使对有.

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