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摘 要

本文从Lebesgue积分与Riemann积分的历史背景入手，简单介绍了Lebesgue积分与Riemann积分的思想，论述了Lebesgue积分与Riemann积分的区别，最后通过几个具体的例子，验证了本文的结论。

关键词：Lebesgue积分，Riemann积分，区别，联系

Abstract: In this paper, based on the background of Lebesgue Integral and Riemann Integral, we simply introduce the thinking, distinction and relation of Lebesgue Integral and Riemann Integral. Lastly, we verify of this paper by some examples.

Keywords: Lebesgue Integral, Riemann Integral, difference, relation

目 录

1 前言 ……………………………………………………………………………4

2 Lebesgue积分和Riemann积分的区别 ……………………………………7

3 Lebesgue积分和Riemann积分的联系………………………………………14

结论………………………………………………………………………………16

参考文献…………………………………………………………………………17

致谢………………………………………………………………………………18

1 前言

公元前三世纪左右,古希腊物理学家阿基米德研究的解决抛物弓形的面积、球、球冠面积、螺线下面积、旋转双曲体的体积问题,隐含着近代积分学思想.阿基米德用球体薄片的叠加和球体外切柱以及相关的圆锥薄片的叠加,并且运用杠杆原理得到球体的体积公式.我们国家三国时期的刘徽运用“出入相补”与“以盈补虚”的思想去解决球的面积和体积的问题,采用“割圆术”中指出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”公元前五世纪,我国两位数学家祖冲之和祖暅父子俩提出积分概念的雏形,“缘幂势既同,则积不容易”,给出球体体积正确的计算公式.

十七世纪以后积分才真正的发展,物理学家牛顿的著作《流数简论》的出版标志着微积分的诞生,莱布尼茨也对积分的发展做出了巨大贡献.十八世纪,数学的发展虽然进入了分析的时代,但是面积的观念一直影响着积分的概念,一直到柯西,他摆脱了面积观念的影响,真正从分析的角度给出了积分的构造性定义,柯西从“和式极限”这个创造性的观点出发,从微分中把积分作为一个独立的个体分离出来,并且数学分析中的重积分,曲线积分,曲面积分的引入都以积分作为“和式极限”的观点为前提条件.同时,为了引入其他类型的积分,例如Lebesgue积分与Riemann积分,积分作为“和式极限”的观点也为其创造了前提条件.

下面我们来谈谈Lebesgue积分与Riemann积分的思想简介.

首先,我们来谈谈Lebesgue积分的思想简介.函数概念的发展和积分的发展密不可分,函数的连续性和积分理论一直紧密地联系在一起.早期的研究工作对积分学的发展起过推动作用,傅里叶用三角级数和来表示不连续函数,1807年傅里叶指出,任一定义在上的函数可表示为三角级数:

其中

但是,傅里叶的这一陈述缺乏严格的论证.1837年狄利克雷对三角级数的研究工作提出了一些条件,他尤其提到了函数的可积性.

Riemann对三角级数进行研究时,考虑到上述傅里叶和狄利克雷的研究工作,特别研究了狄利克雷提到的函数的可积性问题. Riemann在没有假设函数是连续的前提下,去研究一个函数是否可积是什么样的性态?站在这一角度,1854年Riemann的一篇论文《关于一个函数展开成三角级数的可能性》,这篇论文给出了积分的定义和函数可积性的充要条件,后来,达布用更加明确的形式给出函数可积的充要条件.

正值函数定义在区间上,为了使函数在区间上可积,如果按照Riemann的积分思想,函数在区间划分后的多数小区间上的振幅可以足够小,这就使得具有较多振动的函数被排除在可积函数类外. 因为Riemann积分存在着各种局限性,数学工作者相继深入研究积分理论. Jordan、Borel等人对于点集的测度理论的深入研究，揭示了积分与测度的联系. Lebesgue完成的测度与积分系统是现代应用最广泛的. 1902年Lebesgue发表了一篇论文《积分、长度与面积》,这篇论文是古典分析向近代分析转折的标志.Lebesgue积分理论不仅蕴含了Riemann积分理论,而且在很大程度上克服了Riemann积分的局限性,之后还有许多科学家对积分理论的发展做出了重大贡献.

在求曲边梯形的面积时,Riemann积分的思想是将底边分割成若干个小底边，对区间进行分割,用对应于小底边上的小矩形代替小曲边梯形.因此,如果积分存在,则小底边上的振幅必须可以足够小. 虽然Lebesgue积分思想也是“分割、近似、求和、取极限”,但是Lebesgue的分割是对函数的值域,并不是对曲边梯形的底边. 正值函数定义在区间上,设在区间上的最大值M和最小值m,任意,作

其中.并且作点集.这样,在上的振幅就不会大于,再计算 其中,.并且作和式,该和式是在区间上积分的近似值.然后,让,若该和式的极限存在,记为

,

则称在区间上是可积的,也就是Lebesgue可积. 换句话说,就是通过y轴的分划来限制函数值的变动振幅,就是按函数值的大小先加以归类.

Lebesgue把自己的积分思想和Riemann的积分思想做了生动的譬喻,假如我欠了好多债,现在要换人家钱,Lebesgue自己的积分思想是,先把钞票按面值大小进行分类,再计算每一类钞票的面值总额,然后再把每一类的总额相加;Riemann的积分思想是,从钱袋中摸出钞票,按照钞票摸出的次序依次相加.

其次,我们来谈谈Riemann积分的思想简介. Riemann在论文《关于一个函数展开成三角级数的可能性》中，把积分推广到定义在区间上的有界函数上，Riemann把区间分割成子区间,并且定义在子区间上的最大值与最小值的差为在子区间上的振幅. 然后，Riemann证明了当时,如果和式存在,是中的任一值,和式趋于一个唯一的极限的一个充要条件是:的振幅大于给定的数,区间的总长度必须随着各区间的长度而趋于零.Riemann认为,关于振幅,连续函数可以用具有孤立间断点的函数和具有处处稠密间断点的函数代替。其实,Riemann给出的可积函数的例子,可积函数在每个任意小区间上的无穷多个间断点,这个例子说明了Riemann积分概念的一般性,从而,Riemann去掉了积分定义中连续和分段连续的要求.

后来,达布对于Riemann提出的积分概念,以更加明确的形式给出了函数可积的充要条件,提出达布上积分和达布下积分的概念,并且指出上下积分相等时,有界函数可积.

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