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摘 要

探讨叶果洛夫定理产生的背景、概念以及如何在实变函数的学习中利用叶果洛夫定理解决相关问题.此外，还给出了叶果洛夫定理使用的注意点、与叶果洛夫定理等价的两个定理，帮助学生更好地理解、掌握叶果洛夫定理，从而提高学生对数学概念的理解，更好的运用叶果洛夫定理解决数学问题.

关键词：实变函数,叶果洛夫定理,一致收敛

Abstract：We consider Egoroff theorem’s background,concept and how to use Egoroff theorem in real variable function. More over, in order to help students understand and grasp the Egoroff theorem ,we give Egoroff theorem’s attention and two equivalent theorems.

Keywords：real variable function,Egoroff theorem,uniform convergence

目 录

1 前言 3

2 叶果洛夫定理的证明方法与注意事项 3

3 叶果洛夫定理的应用 7

参考文献 10

致谢 11

1 前言

以实数作为自变量的函数叫做实变函数,以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论.它是微积分学的进一步发展,它的基础是点集论,即专门研究点所成的集合的性质的理论.也可以说,实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的.比如,点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等.实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题.实变函数论研究的对象是定义在可测集上的可测函数类,并使微积分在更宽的条件下，加以运用实分析处理问题的方法.对提高学生的数学思维能力、培养学生的创新精神有很大帮助.详细地论述，见参考书[1-6].

我们知道,在数学分析中,一致收敛的函数列具有良好的性质，例如,在讨论一个连续函数列的极限函数的连续性以及可积性与可微性的时候,一般都要求该函数列是一致收敛的.但对有些函数,一致收敛的条件太强,即使它在某个区间上处处收敛,也不可能一致收敛。例如,函数列就在区间上并不一致收敛,但是,当我们将区间的右端任意去掉一个长度为的小区间后,则函数列就在区间上一致收敛,对一般的函数列,如果它在可测集上是几乎处处收敛的,对任意的正数,能否在中去掉一个测度小于的子集,使函数列在上一致收敛呢?

20世纪初,俄国数学家叶果洛夫（Egoroff）注意到这个现象,凭借对数学的热爱和痴迷，经过深入研究，得到了著名的叶果洛夫（Egoroff）定理. 后来Egoroff将这个定理发表在巴黎科学院报告上.

这个定理说明几乎处收敛与一致收敛的关系,同时,这个定理也常常成为人们处理极限问题的有力工具. 因为通过叶果洛夫定理,可以对不一致收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛,而一致收敛却是我们早已经熟悉的. 更多地研究情况,见参考文献[7-9].

这篇文章主要介绍了叶果洛夫定理、叶果洛夫定理的证明方法与注意事项以及它的几个应用.

2 叶果洛夫定理的证明方法与注意事项

为了证明叶果洛夫定理,我们先证明一个引理.

引理 设是有限测度集上的一个有限函数列，在上有定义且处处有限，则在上不收敛于的一切点构成的集合为

.

其中,是一个严格 单调减少并且趋于零的正数列,即

，

证明 设是使在上不收敛于的任一点,即,则存在及正整数列

,

使得

.

同理,对充分大的正整数,存在正整数,使得

.

故

.

从而

.

因此

.

反之,设,则存在,对任意的正整数,使

得

，

这说明是使在上不收敛于的点.因此,的确是在上不收敛于的一切的点构成的集合.证毕.

Egoroff定理 设,是上的一个几乎处处有限的函数列，函数在上几乎处处有限，若在上几乎处处成立,则对任意的正数，存在的可测子集：,使得函数列在上一致收敛于.

证明 由假设,既然可测集去掉一个零测度集后仍然可测,不妨设和在上处处有限,且在上处处成立.

令

, ，

则在集合上一致收敛于,事实,对任意的,存在,有

成立.下面的任务是对任意的整数,选取适当的与,使得.由于在上不收敛于的一切点构成的集合为,而在上几乎处处成立,故

,

得

.

注意到集列是一个单调减少集列,知

.

因此,只要充分大,就可以使充分小,比方说小于,即取正整数,使

.

于是

.

证毕.

下面给出Egoroff定理的另一个说法以及证明,即

设是可测集,,与是上的几乎处处有限的可测函数，且在上几乎处处收敛于.那么,对任意的,存在集合,使数列在上一致处处收敛于,而.

证明 对任意的正整数列,令,则在上一致收敛于.

事实上,对任意的,取,得,当,对任意的,都有.

对任意的,若能找到相应的,使得即可.

由引理,对于,,存在,当,有

注：①定理中,“”不能取消,否则结论未必成立,例如

,, ,则为上可测函数列,且 .

存在,对任意可测集,只要,在上,不一致收敛于0.因为存在,对任意的,存在,当时,有.故在上不一致收敛.

②与叶果洛夫定理等价的两个定理：

定理1：若对每个固定的,几乎处处可测的函数序列,当时,在有限测度集上几乎处处收敛于几乎处处有限的函数,而序列在上几乎处处收敛于几乎处处有限的函数,则必有子列,使得几乎处处收敛于.

定理2：若函数列是有限测度集上的可测且几乎处处有限的函数列,它在上几乎处处收敛于几乎处处有限的函数,则存在一个可测的几乎处处有限的函数和一个单调递减趋于0的数列,使得对一切,有

,

在上几乎处处成立.

3 叶果洛夫定理的应用

下面介绍叶果洛夫定理的应用,其中最典型的应用是在鲁津定理的证明中.

鲁津定理：设是上几乎处处有限的可测函数,则对任意的,存在闭子集,使得在上连续,且.

证明 我们将定理的证明过程按从特殊到一般分成三步完成.

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