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摘 要

复数的应用非常广泛，复数有很多的表示形式，本文对复数在几何上的应用进行了分析研究，采用例举论证的方法，对复数在几何上几个方面的运用进行了探索.通过什么是复数，复数其几何的意义，以及复数在几何上的几种应用进行了一一探索.我们发现，复数在化成代数，指数，三角等形式的时候，可以应用在平面几何，解析几何等等不同方面.最后发现，平面上某些图形的几何关系可以通过复数关系来刻画,从而一些几何问题就可以通过一系列的复数运算,巧妙地导出所需的结果.更加简便.

关键词：复数 几何意义 例举 形式

Abstract：The complex is widely used, there are a lot of complex representation. This paper analyses and studies the application of complex in geometry, using the method of demonstration examples, explores the use of complex geometry in several aspects. Through what is the significance of the complex, complex geometry, the exploration and application of several one one. In geometry. We found that, in the form of complex algebra, index and triangular form can be applied in the plane geometry, analytic geometry and so on. Finally, the plane geometry of some graphic relationship can be characterized by a complex relationship, and some geometric problems can be through a series of complex operations. So we can derive the results skillfully and be more convenient.

Keywords：Complex Geometric significance Example Form

目 录

1 前言……………………………………………………………………3

1.1 复数的起源…………………………………………………………3

1.2 复数的定义 ………………………………………………………3

1.3 复数的形式…………………………………………………………3

2 复数的几种几何意义………………………………………………4

2.1 复数其原本的几何意义……………………………………………4

2.2 复数的加减运算其所表示的几何意义……………………………4

2.3 复数的乘除的几何意义……………………………………………4

2.4 绝对值与复数的模…………………………………………………5

2.5 复数的几何意义在解题中的便利…………………………………5

3 　复数在几何中的运用………………………………………………5

3.1 复数在平面几何中的运用…………………………………………6

3.1.1 复数在平面几何中的运用的例题………………………………7

3.2 复数在几何证明题中的部分应用…………………………………8

3.2.1 运用复数来证明两条线段相等…………………………………9

3.2.2 运用复数证明两条直线相互垂直………………………………9

3.2.3 运用复数方法证明两条线段互相平行…………………………10

3.2.4 复数在平面几何上应用的总结…………………………………11

3.3 复数在解析几何中的运用…………………………………………12

结论 ………………………………………………………………………13

参考文献 …………………………………………………………………14

致谢 ………………………………………………………………………15

1 前言

1.1 复数的起源

“实数”和“虚数”这两个名称，是在人们为了解方程时开始引用的.当用公式来解一元二次、三次方程的根的时候,就会遇到这样一个问题，求复数的平方根.1545年,意大利数学家卡丹诺（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大术》这一本书中,最先研究了虚数,并且进行了计算.1572年,意大利数学家邦别利（RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“实数”和“虚数”这两个名词.此后,德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法国数学家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系.大约在1777年,欧拉第一次用i来表示-1的平方根.1832年,德国数学家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入复数概念,一个复数可以用来表示,其中和是实数,代表虚数单位,这样虚数和实数就会统一起来了.高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来,给出了复数的一种几何解释.这就是复数的起源.^[1]

1.2 复数的定义

由实数部分和虚数部分所组成的数，形如.其中为实数， 为“虚数单位”， 的平方等于－1.分别叫做复数的实部和虚部.当时，，为实数；当时，又称虚数；当、时， 称为纯虚数.实数和虚数都是复数的子集.如同实数可以在数轴上表示一样，复数可以在平面上表示，这种表示通常被称为“阿干图示法”，以纪念瑞士数学家阿干(J.R.Argand，1768—1822).复数以坐标黑点来表示.表示复数的平面称为“复数平面”.如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数称为共轭复数.

1.3 复数的不同形式

复数有很多形式。第一种，代数形式为：.

　第二种，几何形式为：复平上的点,或者从原点出发的向量，.

　第三种，三角形式为：.

　第四种，指数形式：.

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