正定矩阵的判定
2024-02-05 18:05:52
论文总字数：3785字
摘 要
：矩阵是高等数学中一个重要的基本概念.本文主要归纳总结正定矩阵的定义、判定定理及其应用.关 键 词：正定二次型，正定矩阵,实对称矩阵
Abstract：Matrix is an important basic concepts in higher mathematics. In this paper, we mainly introduced some properties of positive definite matrices and their applications.
Keywords：positive definite quadratic form ，positive definite matrix，real symmetric matrix
目 录
1 引言 …………………………………………………………………4
2 基本概念……………………………………………………………4
3 主要结果……………………………………………………………4
4 正定矩阵判定的应用………………………………………………7
结论……………………………………………………………………13
参考文献 ………………………………………………………………14
1引言
正定矩阵的判定是高等代数中的一个重要知识点，所以正定矩阵的判定问题在矩阵问题占据着重要地位，关于正定矩阵判定的研究也就势在必行.为了开阔思路，更好的理解和掌握判定矩阵正定的方法，本文将关于正定矩阵判定的几种方法进行分析、归纳和总结，得到一些值得借鉴的适用于正定矩阵的判定方法.
2 基本概念
定义1[1] 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有.
定义2[2] 若实数域上的一个元二次型
，
是正定二次型，其中，，则称为正定矩阵.
注 因为二次型的矩阵为对称矩阵，所以本文讨论的矩阵均为实对称矩阵.
定义3[2] 数域上矩阵，称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使.
定义4[6] 设，为阶矩阵，有阶非奇异矩阵存在，使得成立，则称矩阵与矩阵相似，记为.
3 主要结果
定理1[1] 实二次型是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零.
定理2 设为阶实对称矩阵，则以下条件等价
- 为正定矩阵；
- ，，当且仅当时等式成立；
- 任意，，有；
- 任意阶可逆阵，正定；
- 矩阵的主子式大于零.
定理3 若矩阵正定，则的主对角线上元素均大于零.
证明 因为矩阵正定，由定理2（5）知矩阵的主子式均大于零.而矩阵的主对角线上元素为矩阵的一阶主子式，所以矩阵的主对角线上元素均大于零.
定理4 矩阵是正定矩阵当且仅当矩阵可以通过使用向下行倍加变换化为上三角矩阵，且主角线上的元素全为正数.
证明 假设矩阵为正定矩阵，令，由于矩阵为正定矩阵，所以.
当时，设，则可以经过初等变换得到，由于为正定矩阵，所以
，
从而.
假设结论对阶正定矩阵成立，则当矩阵为阶正定矩阵时，
，
从而
，
由于结论对成立，所以，因此.故可以通过使用向下行倍加变换化为上三角矩阵，且主对角线上的元素全为正数.
反之，若可以仅通过向下行倍加初等变换化为等价的上三角形矩阵，令，且，设，分别为，的顺序主子式，显然向下行倍加变换不改变矩阵的任何顺序主子式的值，那么有成立.因为，所以，从而矩阵为正定矩阵.
定理5 合同于阶单位矩阵，则为正定矩阵.
证明 若合同于，则存在可逆矩阵，使得.任取
，，
则.于是，
故为正定矩阵.
定理6[5] 阶实对称矩阵的所有特征值都大于零，则为正定矩阵.
证明 由于是实对称矩阵，故存在正交矩阵，使，
其中是的特征根.对于任意的，作二次型，则.作线性替换，则
，
因为是正定矩阵，所以为正定二次型，即.
定理7 矩阵为实对称矩阵，若，，，则矩阵正定.
证明 因为，且相似矩阵有相同的特征值，所以矩阵的特征值为，且，由定理6得矩阵为正定矩阵.
4正定矩阵判定的应用
例1 判别二次型是否正定.
解 因为的矩阵为，它的顺序主子式
，，，
由定理1得正定.
例2 判别二次型是否正定.
解 因为的矩阵为，它的顺序主子式
，，，
由定理1得非正定.
例3 判定矩阵的正定性.
解 因为
，
所以由定理2（2）（3）得矩阵非正定.
例4 判定矩阵的正定性.
解 设有矩阵，存在矩阵使，即
，
因此可逆，由假设得，又因为
，
由定理1得为非正定矩阵，又由定理2（4）得为非正定矩阵.
例5 判定矩阵的正定性.
解 因为
，，，，
，，
，
所以矩阵的所有主子式都大于零，由定理2（5）得矩阵为正定矩阵.
例6 判定矩阵的正定性.
解 因为
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