论文总字数：8270字

摘 要

关键词：p-q-Laplacion算子，Nehari流形,弱解

Abstract : We investigate a class of quasi-linear elliptic system involving p-q-Laplacian operators. Under suitable conditions, we obtain the existence of weak solution with Nehari manifold.

Keywords : p-q-Laplacian operators, Nehari manifold, weak solution

目 录

1 前言 ……………………………………………………………………………4

2 预备知识 ………………………………………………………………………7

3 主要结果的证明 ………………………………………………………………9

参考文献…………………………………………………………………………15

致谢 ……………………………………………………………………………17

1 前言

现代科学技术的发展很大程度上依赖于物理,化学,生物学及工程技术等领域的成就和进展,而这些学科自身的精确化,则是取得进展的重要保证.学科的精确化往往是通过建立数学模型来实现的，在精确化过程中提出了大量的非线性问题，许多是非线性偏微分方程（组），这些问题的解决将对科学技术的发展产生推动作用，同时也对数学自身的发展有重要的影响.国内外在科学技术中提出的重要非线性偏微分方程，一部分是拟线性偏微分方程，这些方程都受到了科技界的高度重视.

本文将研究如下含p-q-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程组：

（1.1）

解的存在性和多解性，其中是中的有界域， λ , gt;  0, 1  lt;  q lt; p  lt;  N, 1 lt; r lt; , .

当 , 时，方程组（1.1）即为下面的形式：

（1.2）

当，,,时，方程组（1.1）即为p-Laplacian方程：

（1.3）

关于问题（1.3）和（1.2）的研究效果相当丰富，如在文中研究了

（1.4）

其中，, 作者获得了与文类似的结论. 在中, Prashanth-Sreenadh 在，的条件下得到了问题（1.4）在单位球上解的存在性.

Xu 和Yang 在文中建立了下面问题：

（1.5）

解的存在性，其中，作者证明了存在常数，使得当时, 问题（1.5）至少存在一个正解.

关于椭圆型方程组的研究成果也很多，特别是下面形式:

（1.6）

其中, 当时, Alves在文研究了（1.6）, 并得到对于任意问题（1.6）都存在最小能量解, 这儿表示算子的第一特征值. 其他的如Han在中考虑了问题（1.6）的多解性; 当时, Hsu在文中研究了问题（1.6）的多解性; 在Hsu之前, Wu在文中研究了下面的含变号位势的半线性椭圆型方程组：

（1.7）

作者证明了当参数属于的某个子集时, 问题（1.7）至少存在来年各个正解.

当, ,时，方程组（1.1）即为p-q-Laplacian方程：

（1.8）

问题（1.8）来自一个反应扩散组

, （1.9）

其中.此类问题在物理和相关学科像生物物理，等离子物理，化学反应等学科有广泛应用.在这些应用中, 函数u描述了一个集中，在（1.9）右边第一项相应于扩散系数; 而第二项是关于吸收和扩散过程的反应项.典型的, 在化学和生物应用中，反应项是u的多项式.

近十年来，关于问题（1.9）的稳态解引起很多人的兴趣，即对下面问题:

（1.10）

的研究已经取得很多成果，参见文献等.

下面介绍关于问题（1.10）的一些结论，当

时，Wu和Yang在文中证明了问题（1.10）在全空间中存在一个非平凡解，其中a(x),b(x)是正值函数. 特殊地，当, 是正常数时，在文中证明了问题（1.10）存在一个非平凡解. 最近在文中, Li和Zhang在

时研究了问题（1.10），运用Lusternik-Schnirelman理论（也可参考文），作者证明了当, 时，存在使得当时问题（1.10）在中存在无穷多弱解. 2012年，在文中，Yin和Yang研究了与文相类似的问题，在条件, 之下，存在任意，（1.10）在中至少存在个正解. 更多结论参见文及其中参考文献.

本文研究问题（1.1）解的存在性, 本文主要结果如下：

我们假设如下条件：

是一个函数满足对任意, 都成立；

，；

对于所有的ugt;0，vgt;0 是一个关于u和v的严格增函数.

此外，利用条件，我们得到如下Euler恒等式：

同时满足

对于一些常数Kgt;0成立.

定理1.1 如果参数 λ , μ 满足:

，

且成立，那么问题（1.1）至少有一个正解.

2 预备知识

记Banach空间为, 空间中的范数定义为

,

则是一个Banach空间.记为的对偶空间，的对偶积.空间中的范数定义为

这里.

记：

. （2.1）

与问题（2.1）相应的能量泛函定义为

.

则的任何非平凡临界点都是问题（2.1）的弱解. 问题（2.1）的弱解是指存在，且满足对任意，有

.

下面证明

引理2.1 假使(f3)成立，设是正齐次函数，那么是正齐次函数.

证明：证明过程与Chu和Tang 的类似.

此外，通过引理2.1,我们得到存在正常数M满足

, (2.1)

. (2.2)

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：8270字