论文总字数：5321字

摘 要

矩阵的分解可以将规模较大的复杂问题转化为小规模的简单问题，简化了计算，使结果更清晰，本文通过对矩阵常见分解进行归纳和总结，从各种矩阵分解的定义和定理入手，并以这些为依据，总结出各种分解的计算方法.

关键词: 和式分解，乘积分解，分块

Abstract: The matrix decomposition of the large scale complex problems into simple small scale problem, so the calculation is simplified and make the results more clearly. In this paper, through the matrix common decomposition on the induction and the summary, from a variety of matrix decomposition of the definitions and theorems of, and to these as the basis, summed up the various decompositions of the calculation method.

Keywords: Type decomposition , Decomposition product, Block

目 录

1前言…………………………………………………………………………… 4

2矩阵的和式分解……………………………………………………………… 4

3矩阵的乘积分解……………………………………………………………… 5

3.1矩阵的满秩分解…………………………………………………………… 5

3.2矩阵的分解………………………………………………………………9

4矩阵的分块……………………………………………………………………12

5矩阵分解的应用………………………………………………………………14

小结……………………………………………………………………………16

参考献…………………………………………………………………………17

1 前言

由于在近代数学中，大量涉及到了矩阵分解的理论知识，矩阵分解理论发展至今，已经形成了一整套的理论知识和方法.它的内容丰富，而且矩阵分解对矩阵理论及在计算数学中都扮演着十分重要的角色.矩阵的分解可以分成三种，第一种是将一个矩阵分解为两个或两个以上矩阵的和的形式;第二种是将矩阵分为某些特征矩阵的乘积的形式;第三种是矩阵的分块，即把一个大的矩阵看成一些小矩阵组成，矩阵的分块在处理阶数较高时经常用到.寻求矩阵各种意义下的分解方式，对矩阵有关的数值计算和理论分析都有着十分重要的意义.因为这些分解式的特殊形式，一是能反映出原矩阵的某些特征；二是这些分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析依据.

本文主要归纳了一些简单的矩阵分解，分为和式分解、乘积分解、矩阵的分块的部分内容，从各种矩阵分解的定义和定理入手，又以这些定义和定理为依据，总结出各种分解的计算方法.矩阵的分解是代数学中一个重要的概念，矩阵分解是实现大规模问题转化为小规模问题的一种有效工具，它具有很强的技巧性、灵活性.本文矩阵的分解主要用到了数学中“分解”和“转化”的思想，由于矩阵的分解具有多种情况，因此本文运用了分类思想对它进行归类讨论.

2 矩阵的和式分解

将一个矩阵分解为两个或两个以上特征矩阵的和的形式,有利于简化矩阵的计算.

定理1 任一矩阵都可以表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.

定理2 秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和.

证明 设

，

即

=，

令则

……

且可知

, ,

即得结论.

3 矩阵的乘积分解

3.1 矩阵的满秩分解

满秩分解是将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵和一个行满秩矩阵的乘积，这也是矩阵分解理论中常见问题，下面简要介绍矩阵满秩分解的定义和定理，并在这个基础上介绍计算矩阵满秩分解的方法.

定义3 设（），如果存在矩阵和使得

则称其为矩阵的满秩分解.

说明 列数等于秩，即为列满秩矩阵；行数等于秩，即为行满秩矩阵.

定理4 设为任一秩为的矩阵,则必有满秩分解式,其中为列满秩,为行满秩.

证明 因为的秩为, 对施行初等行变换可将化为阶梯形矩阵. 有

即的后行全为零，于是存在若干个阶初等矩阵的乘积，记作,即

，，且秩（）=.

于是存在有限个阶初等矩阵的乘积, 使得

将分块为

, .

则有

=.

故是的一个满秩分解.

定义5 设的矩阵, ,（），如果满足：

1)的前行中每一行至少含有一个非零元素, 且每个非零行中的第一个非零元都是1;

2)的后行的元素全是零;

3)设中的第行()的第一个非零元素1位于第列时, 该列的其他元素都是零，并且有

则矩阵称为行最简形矩阵.如果秩的矩阵经初等行变换后化为上述矩阵,则称为的(行最简形）矩阵.

说明 初等行变换有三种变换：1、互换矩阵中两行的位置;2、矩阵的某一个行乘以非零的常数;3、矩阵中某一行乘以一个非零常数加到另一行.

(2)逆矩阵方法：

1)其中为阶梯形矩阵;

2)计算;

3)取为的前列构成的列满秩矩阵，为的前行构成的行满秩矩阵，那么.

(2)标准形方法：

1)其中为标准形矩阵，且的 列为单位矩阵的前列;

2)取为的列构成的列满秩矩阵，为的前行构成的行满秩矩阵，那么.

例1 求矩阵

的一个满秩分解.

方法一：（逆矩阵方法）

解 对施行初等行变换后化为阶梯形矩阵,由

==,

得

=,=.

这时

=

对施行初等变换，得

=→→

=.

求得

=,

于是就有

=.

因此得的一个满秩分解

.

例2 求矩阵

的一个满秩分解.

方法二：（标准形方法）

解 对施行初等行变换为行最简形，即

==

于是得

(1) (2) (3)

=.

取

==,

从而得的一个满秩分解为

.

3.2 矩阵的分解

定义7 如果复（实）矩阵可以分解成一个正交矩阵与一个复（实）的上三角矩阵的乘积，即

则称上式为矩阵的一个分解.

下面我们来谈谈矩阵的分解，矩阵的分解有多种，常见的方法主要有（施密特）正交分解法，（豪斯霍德）正交分解法和（吉文斯）正交分解法，（施密特）正交分解法是矩阵分解的最常用的方法,因此下面主要介绍（施密特）正交分解法,并给出了具体的计算步骤和算法.

(施密特)正交分解的计算步骤和算法

是可逆矩阵.

（1）对的列向量组正交化得正交向量组

其中上式可改写为

于是有

其中

.

（2）构造正交矩阵；对单位化得=

（3）构造上三角矩阵=

=

由于gt;0()为正实数，上三角矩阵，因此有分解为

.

例 3 用正交化方法求矩阵

的分解.

解 由已知, 的列向量分别为

.

将它们正交化

,

,

.

由，，，将单位化得

,

,

.

构造正交矩阵得

=

由求解公式

得到

即得

.

4 矩阵分块

常见的分解除了矩阵和式分解与矩阵的乘积分解之外第三类矩阵分解是矩阵的分块，矩阵的分块就是把大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块.矩阵的分块主要应用在处理矩阵级数较高.

为了说明这个方法，下面举个例子.

其中，表示2级单位矩阵，而

在矩阵

=

中，

在计算时，把都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算，这个过程包含着降阶的思想，即将高阶矩阵的问题转化为低阶矩阵的问题.于是

=,

其中

=

=

=

=.

所以

5 矩阵分解的应用

矩阵的分解在线性代数及计算数学中都有广泛的应用,如行列式的求解、求秩、求线性方程,它是求解最小二乘问题和最优化问题的重要的工具.

例4：矩阵称为反对称的，如果.证明：任一矩阵都可以表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.

证明 设是任意的矩阵，因

=

因为

,

显然是对称矩阵，是反对称矩阵.

所以任意n阶矩阵都可以表示为一对称矩阵与反对称矩阵之和.

例5：设矩阵，求.

解 对矩阵作如下的初等变换

.

所以的初等因子为，.

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