一、选题背景和意义 1、Boussinesq方程是一种能够描述规则和不规则波在复杂地形上发生浅化、折射、绕射和反射效应相当有效的数学模型。

1872年。

Boussinesq假定水平速度沿水深为常速，垂向速度沿水深呈线性分布，得到了一维非线性水波方程，称为Boussinesq方程。

1967年，Peregine从Euler方程出发，假定ε和为同阶小量，采用摄动法，以水面高程及沿水深平均的水流变速为变量，推导了能够反映水深变化的二维Boussinesq方程，被称为经典Boussinesq方程。

经典Boussinesq方程为质量守恒方程和不可压无黏流体的动量方程，动量方程中的三阶混合时间、空间导数项被称为Boussinesq项，是短波区别于长波的主要标志。

Boussinesq方程有以下特点：1）控制方程以水深和速度表示，任何情况下都要满足质量守恒和动量守恒方程，因此可以描述波浪折射，绕射现象以及波浪同反射波浪间的相互作用；2）经典Boussinesq方程是弱色散性和弱非线性的，仅适用于浅水区域。

当波浪相速度误差不大于5%时，经典Boussinesq方程的适用水深为1/5深水波长，这与工程中实际出现的不规则波及有航道等变水深情况是不适应的；3）经典Boussinesq方程不能考虑波浪破碎，强非线性以及环境水流的影响。

2、哈密顿系统的起源和发展 哈密顿力学是1833年Hamilton对经典力学的再次描述, 它是由拉格朗日力学演变而来的, 其优势是在描述辛空间的同时不依赖于拉格朗日力学. 人们将适合用哈密顿力学表述的动力系统定义为哈密顿系统, 又叫正则系统. 随着计算机的普遍应用与纯数学理论的不断发展, 哈密顿系统理论成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域. 由于该系统广泛应用于数理科学以及生命科学的各个领域, 特别在等离子物理及生物工程中的很多模型都用哈密顿系统, 因此该领域引起了许多科研人员的兴趣, 在该领域成果不断. 3、Nekhoroshev定理的起源及发展 Nekhoroshev定理是1977年由俄国数学家N. N. Nekhoroshev给出的关于近可积哈密顿系统稳定时间的一个重要估计. 之后, 对哈密顿系统作用变量变化的理论研究吸引了大批学者. 其中包括拟凸哈密顿系统的Nekhoroshev估计、广义哈密顿系统的Nekhoroshev估计、拟可积退化哈密顿系统的Nekhoroshev估计和有限可微哈密顿系统的Nekhoroshev估计等. 本课题打算通过考察方程线性系统的哈密顿结构以及非线性项的TAME结构来研究悬链边值条件下Boussinesq方程。

二、理论基础 1、哈密顿系统 哈密顿系统是指具有如下形式含有个方程的一阶常微分方程组： ，，， （1） 其中，，是上的开区域，是上的光滑实函数，通常称为哈密顿函数。

向量和称为一对共轭变量。