文 献 综 述 分形几何是一门不规则几何形态研究几何学，相对于传统几何学，分形几何更着重于分数维数不同的研究，生活中有很多图形都是分形几何，如山峰，雪花等，在经济学中的曲线也是分形几何图，比如股市K线分析。

分形几何与传统几何相比有什么特点： ⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。

例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。

上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。

当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。

其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问.这里的『空间』指的是正统的『几何空间』,包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等.因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞台与演员的演出.而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完美,空间,时间和运动等观念.』 不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对於宇宙空间的好奇与探索,亦或是对於『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾停歇.而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间. 影响几何学辅助线发展的重要思想 在孕育出有如巨大神木之现代几何学的过程中,许多重要的理论是这棵几何神木的主要枝干.以作者的观点,我们将其由古至今,总括为以下25个: 1. 的概念的形成.2.毕氏定理.3.欧基理德几何原本及其影响.4.柏拉图的五个正立方体.5.阿基米德的球体积的推导.6.祖冲之原理.7.笛卡儿的座标系统.8.牛顿,莱布尼兹的微积分发明.9.高斯的优美定理,Gauss-Bonnet定理.10.非欧几何的发展与黎曼的内在几何观.11. Lagarange的变分法及Laplace的天体力学.12.尤拉数与波动方程.13. Klein's 24几何学发展史简介25 program.14.庞加莱平面及基本群.15. Hilbert的几何基础.16.爱因斯坦的广义相对论. 17. de Rham cohomology,Hodge理论及Cartan的微分形式观点.18.陈省身的特徵类与Chern-Weil, Chern-Simon理论.19. Rauch比较定理.20. Atiyah-Singer指标定理.21.丘成桐教授所代表的几何分析.22. Donaldson, Seiberg-Witten理论.23. M. Gromov的辛几何.24. Mandelbrot的碎形几何与混沌理论.以及电脑时代的产物-25.计算几何的发展,这可能是本世纪最为重要的. 以下我们由思想的演进以及人类在几何观点上的变化,从上述的重要思想理论中,再挑出十个做较为深入的探讨.从作者的角度来看,这十个思想代表了整个几何发展的主轴.它们分别是: 一. Pythagoras (毕达哥拉斯,约西元前6世纪) :毕氏定理. 毕氏定理又称为『商高定理』,在小学的数学教材内即有收录.这个在现在看起来相当容易理解的定理却可视为一个文明能否发展的重要指标.简单的说,由於毕氏定理的提出,显示人类已经能够『初步地掌握方向的变化』.两千六百年前的人已经知道,如果从起点开始向东走四步,再向北走三步,则最后到达的地方与原出发点的距离为五步之遥.也就是说我们已经会变化方向,而不再只是单线的在前进.有了这样的概念,三角形中的正弦定理,余弦定里就可以被推导出来,并可被运用来测量距离,造桥,筑屋及计算炮弹射程等等. 二. Euclid (欧基理德,约西元前300 260) :几何原本. Archimedes (阿基米德,约西元前287 212) :级数和,球体积. 欧基理德的几何原本(The Elements)总结了希腊时代的数学成果.它被认为是西方科学发展异於东方科学的最大特色.在书中推导出许多现存於中学数学教材内的重要结果,例如像毕氏定理,三角形内角和等於180度等等,而推出这些结果的主要依据,则是像下面几个基本的几何公设: 五大几何公设 1 .过相异两点,能作且只能作一直线(直线公理). 2.线段(有限直线)可以任意地延长. 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆(圆公理). 4.凡是直角都相等(角公理). 5.两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小於两个直角,则两直线作延长时在此侧会相交. 其中第五公设又叫做『平行公设』,因为它等价於: 5'.在一平面内,过直线外一点,可作且只可作一直线跟此直线平行. 奥瑟曼教授对於这本在两千三百多年前完成的书有很高的评价,他的评价是: 它给了相当的『确定感』; 它的方法具有强大的威力; 证明方法展现高妙的才智; 几何图形的美感. 也许以现代的角度看来,几何原本所提及的仅是相当基础的内容,但是在两千两百多年以前,人类却能以这些简单的知识,加上对天文的观测,巧妙地测量出地球的长度.埃拉托斯特尼(Eratosthenes,约西元前270-190)采用了如下的做法:距离当时的亚历山大城正南方500英里处有一座亚斯文城,这个城市有著相当特殊的地理位置,它与我们的嘉义市相同,位於北回归线上.所以在亚斯文城的地面上插上一根旗竿,观察每天正午竿影的长度,我们可以确定一年中夏至(太阳直射北回归线)的时间.埃拉托斯特尼在夏至的正午时分,同时在亚历山大城与亚斯文城插上一根旗竿,并且测量出旗竿与太阳光线所夹的角度大约是圆周长的50分之一,因而算出地球的周长大概是500#215;50 = 2500 (英哩).这已经是相当精确的数值.在那个大多数人认为地表是平坦的年代,只用一些简单的数学理论及天文知识,却可以把地球的大小测量出来. 在希腊时代,人类可以处理一些非常正规的图形.到了阿基米德的时代,他利用杠杆原理来推导球的体积.除此之外,阿基米德对於弯曲的几何形体也有初步的掌握.例如他用无穷级数和的方法能够求得直线与抛物线围成的区域面积大概有多大.另一方面,在大约西元五世纪时,中国数学家祖冲之利用所谓的祖冲之原理『若两立体在等高处截的面积一样,则这两个立体的体积相等』,也可以推算出球的体积.虽然这些问题在微积分出现之后就变得相当容易解决,但是在微积分诞生之前人类就有这样的概念,其实是相当伟大的. 三. Descartes (笛卡儿, 1596 1650) :座标系统. 根据科学演进的过程看来,笛卡儿的座标系统可说是西方科学发展的重要里程碑.在一个抽象的平面上建立一个直角座标系统X与Y,精确地描述每一个点的位置,这样的概念对现在的国中生来说,是相当容易理解的,也觉得很容易学,但是它却有划时代的作用.在希腊时代,人类处理几何的问题,只能以图形的角度出发,透过作图,画辅助线等方式来决定诸如是否等分或是否垂直等问题.但是这个座标系统一给定之后,我们便可以把几何问题代数化.例如,在笛 卡儿之前所了解的直线或圆只是一个图像,但是有了座标系统之后,我们可以用方程式很精确地把它们描述出来,也可以很清楚的知道它们的相交状况.除了把几何图像转换成可操作的数字之外,笛卡儿的座标系统同时说明了数字的问题也有其几何意义. 从三角形到四边形，从直边图形到曲边图形，我们对图形的理解也在循序渐进，以前我们测量一个很高的旗杆，我们只能站在顶上，用尺度量，现在的我们却可以建立相似三角形，把很长的直角边转移到三条可以方便度量的三角边上去，其实添加辅助线解决问题也是如此。

在平行四边形的研究中，我们通常会画出一条对角线，把图形分成两块三角形，因为我们从研究图形开始，就是对三角形的研究，对三角形的认知比起其他图形多得多，因此把复杂的问题简单化是我们研究几何问题，添加辅助线解决问题的基础。

圆作为我们从图形认知开始就重点关注的图形，它在生活中的利用率有时都超过了方形，三角形，在的研究中，因为很多长度都是不可测的，我们对它的研究需要添加辅助线来完成，因此，我们开始着手研究几何图形中的辅助线问题，只为更加简单的解决图形中的问题。