1. 研究目的与意义（文献综述包含参考文献）

1927年，Werner Heisenberg发表了 一篇题为”关于量子理论之动理学和力学的直观内容”的文章，这标志着uncertainty principle作为一个重要概念被正式引入了物理学。这个原理在物理学家中间引起了一场复杂的，情感上的和形而上学的，骚动，并在长期处于争论的情形下被广泛地滥用着。

这篇文章的本意是因为注意到量子力学的直观诠释充满内在的矛盾，有讨论的必要。他认为，在经典力学里，位置和动量是清楚定义的、独立的量，而在量子力学中，位置与动量有了关系（原文写成这样的形式），因此有理由对位置、动量概念之不加批判的应用存疑。

在Heisenberg1927年的文章里，他注意到对任意如下形式的波函数，则通过基于的Jordan变换(傅里叶变换），得到用p表示的几率幅为，值得注意的是，若是q可被知道的精确度，是p被确定的精确度，这意味着在碰撞之类的实验中，粒子的动量和位置是不能同时被精确地确定的。

ΔｘΔｐ 不确定关系的论证

阐述uncertainty principle的一个图解式的工具是γ 光子显微镜观测电子实验，如下图， Heisenberg原文给出的只是文字上的叙述，后来发展出来的典型推理过程如：

用于诠释uncertainty principle的显微镜实验

考 察 一用显微镜观测 电 子的实 验 ，若 一 个 水 平 入射的、给定波长 的光子和电子碰 撞后被散射到垂 直方向上2θ 角度的锥内，这可以理解为电 子 被 探 测到．已知显微镜的分辨率为 （1）

若散射后的光子从前端进入显微镜，光子动量应该等于；若散射后的光子从后端进入显微镜，光子动量应该等于 ；因此有

（2）

对于非常小的θ ，有

（3）

因此测量的给出的电子动量误差为，因此有。

这 个粗看 一切顺畅 的证明出现在 许 多文献中，特别是教科书中 ，误导了许多人。其实，这个看似正确的证明过程每一步都包含着错误：

（１）中显微镜分辨公式是基于Ray-leigh判据远场光学的结果，不具有客观性和普适性，用这样的公式讨论fundamental physics是不合适的。式（1）的推论是所谓的半波限制，即分辨率最好不好于所用波长的一半--所以用可见光的显微镜 ， 分辨率不会高于200nm。此 外，这个公式是经典透镜关于光束远场成像的情形，而非针对单光子两字概念。（2）中不合适的是，所 谓 分 辨 率 中 的 Δ其 意 义是间隔，它和Heisenberg使用Jordan变换导出的波函数中的不是一回事。 (3)式想当然地假定散射后的波长约等于入射波长。对应于很小角的散射实际上对应的是偏转角度约为的Compton散射，属于大角散射事件，散射后的光子波长不能近似等于入射波长。

1929年，Robertson提供了一个形式上的数学证,证明的出发点是对任意正定空间都成立的Schwarz不等式。所谓Schwarz不等式在欧几里得矢量空间中的形式为｜ａ＋ｂ｜≦ａ｜＋｜ｂ｜，即 三 角 形 任 意 两 边 之 和不小于第三边；在复数域上的线型空间中，其形式为，由此出发，对任意两个力学量（观测值）算符，可得到关系式

, (4)

其中符号是严格定义为力学量在指定态函数下的方差的，为对易关系，为反对易关系。为什么忽略（4）中的第二项？注意到，于是得到

　　（5）

这里，符号代表力学量的方差，貌似严格的--因为是从Schwarz不等式推导而来（5）式中的是以一种不正确的方式得到的，推导过程忽略了（４）式中的反对易项，反对易项对高斯函数型的波函数为零（是特例，不具有普适性），也就是说只对高斯函数是严格成立的。但是对一般意义上的波函数，反对易项可能比对易项的值还大，也就是说可能比大得多！由于测量误差远高于使得 能同相比拟的水平，这掩盖了 取值可以比大得多的事实。

　2009年，刘家福先生计算了一维无限深势阱中粒子的位置和动量的不确定性问．结果是， （6）

也就是说随着量子数ｎ的增大， 渐增至一个常数值，而 则一直增加。这很好理解，能量（动量）越大的粒子，越活跃，表现为粒子位置更不确定，但总还是被限制在势阱内（图４）。

图４　一维无限深势阱中的电子波函数．随着量子数ｎ 的增大，动

量不确定性（均方差）趋于无穷大，位置均方差渐增趋于固定值

量子力学是基于波函数（几率幅）描述物理事件的，其给出的力学量分布依赖于具体的波函数按。 的值当然也依赖于粒子的波函数的形式，对于一维无限深势阱，粒子位置－动量的不确定性之积为

（７）

不同状态下的不确定度之积是不一样的。随处可见的时间－能量不确定性的诠释认为，能量宽度（或者差别）越大，相应的寿命应该越短。日本关西大学的小山泰教授在研究一类复杂分子的发光时，他们注意到谱线能量越高，而谱线寿命却增加的现象。小山泰教授后来将结果发表在Chemical PhysicsLetters。其实，不同能量的发光过程，涉及的是不同的一组波函数间的交叠问题，发光能量和谱线寿命同步增减也是可能的！

ΔＥΔｔ的困境

　　 的量纲是作用量，的量纲也是作用量。存在式的uncertainty relation,人们自然也希望存在式的 uncertainty relation。但是，在量子力学中，位置、动量和能量都是算符，分别为和哈密顿量 ，而不是，它是参数。也就是说，和的身份不对等，无法使用Robertson的形式证明存在其中Δ为力学量方差的关系式。在人们讨论时可以诠释为”不能同时精确地测量位置和动量”，但是说”不能同时精确地测量能量和时间”就缺乏科学性了。

　于是，我们看到各种版本的Ｅ－ｔ不确定性关系（１）被解释为观测时间，为实验误差；（２）为粒子凭空获得的能量，被解释为可拥有额外能量的时间，这个诠释被用来解释隧穿现象（量子电动力学的虚过程），以及量子过程中不能满足能量守恒的部分；（３）被解释为能级寿命，为谱宽度；（４）Mandelstam-Tamm ：Δｔ被解释为力学量的平均值划过其方差那么大的范围所需的时间，定义；（５）粒子看作是波包，是波包通过某位置的时间； 是波包能量宽度，而是到达时间的方差；（６）Gislason用decaying state得到了关系式，τ 是decaying state的平均；（７）基于混合态振荡的。设有混合态，则观察到对应本征态的本征值的几率包含振荡项,定义特征时间,则有；

2. 研究的基本内容、问题解决措施及方案

1927年，Werner Heisenberg发表了 一篇题为”关于量子理论之动理学和力学的直观内容”的文章，这标志着uncertainty principle作为一个重要概念被正式引入了物理学。这个原理在物理学家中间引起了一场复杂的，情感上的和形而上学的，骚动，并在长期处于争论的情形下被广泛地滥用着。

这篇文章的本意是因为注意到量子力学的直观诠释充满内在的矛盾，有讨论的必要。他认为，在经典力学里，位置和动量是清楚定义的、独立的量，而在量子力学中，位置与动量有了关系（原文写成这样的形式），因此有理由对位置、动量概念之不加批判的应用存疑。

在Heisenberg1927年的文章里，他注意到对任意如下形式的波函数，则通过基于的Jordan变换(傅里叶变换），得到用p表示的几率幅为，值得注意的是，若是q可被知道的精确度，是p被确定的精确度，这意味着在碰撞之类的实验中，粒子的动量和位置是不能同时被精确地确定的。

ΔｘΔｐ 不确定关系的论证

阐述uncertainty principle的一个图解式的工具是γ 光子显微镜观测电子实验，如下图， Heisenberg原文给出的只是文字上的叙述，后来发展出来的典型推理过程如：

用于诠释uncertainty principle的显微镜实验

考 察 一用显微镜观测 电 子的实 验 ，若 一 个 水 平 入射的、给定波长 的光子和电子碰 撞后被散射到垂 直方向上2θ 角度的锥内，这可以理解为电 子 被 探 测到．已知显微镜的分辨率为 （1）

若散射后的光子从前端进入显微镜，光子动量应该等于；若散射后的光子从后端进入显微镜，光子动量应该等于 ；因此有

（2）

对于非常小的θ ，有

（3）

因此测量的给出的电子动量误差为，因此有。

这 个粗看 一切顺畅 的证明出现在 许 多文献中，特别是教科书中 ，误导了许多人。其实，这个看似正确的证明过程每一步都包含着错误：

（１）中显微镜分辨公式是基于Ray-leigh判据远场光学的结果，不具有客观性和普适性，用这样的公式讨论fundamental physics是不合适的。式（1）的推论是所谓的半波限制，即分辨率最好不好于所用波长的一半--所以用可见光的显微镜 ， 分辨率不会高于200nm。此 外，这个公式是经典透镜关于光束远场成像的情形，而非针对单光子两字概念。（2）中不合适的是，所 谓 分 辨 率 中 的 Δ其 意 义是间隔，它和Heisenberg使用Jordan变换导出的波函数中的不是一回事。 (3)式想当然地假定散射后的波长约等于入射波长。对应于很小角的散射实际上对应的是偏转角度约为的Compton散射，属于大角散射事件，散射后的光子波长不能近似等于入射波长。

1929年，Robertson提供了一个形式上的数学证,证明的出发点是对任意正定空间都成立的Schwarz不等式。所谓Schwarz不等式在欧几里得矢量空间中的形式为｜ａ＋ｂ｜≦ａ｜＋｜ｂ｜，即 三 角 形 任 意 两 边 之 和不小于第三边；在复数域上的线型空间中，其形式为，由此出发，对任意两个力学量（观测值）算符，可得到关系式

, (4)

其中符号是严格定义为力学量在指定态函数下的方差的，为对易关系，为反对易关系。为什么忽略（4）中的第二项？注意到，于是得到

　　（5）

这里，符号代表力学量的方差，貌似严格的--因为是从Schwarz不等式推导而来（5）式中的是以一种不正确的方式得到的，推导过程忽略了（４）式中的反对易项，反对易项对高斯函数型的波函数为零（是特例，不具有普适性），也就是说只对高斯函数是严格成立的。但是对一般意义上的波函数，反对易项可能比对易项的值还大，也就是说可能比大得多！由于测量误差远高于使得 能同相比拟的水平，这掩盖了 取值可以比大得多的事实。

　2009年，刘家福先生计算了一维无限深势阱中粒子的位置和动量的不确定性问．结果是， （6）

也就是说随着量子数ｎ的增大， 渐增至一个常数值，而 则一直增加。这很好理解，能量（动量）越大的粒子，越活跃，表现为粒子位置更不确定，但总还是被限制在势阱内（图４）。

图４　一维无限深势阱中的电子波函数．随着量子数ｎ 的增大，动

量不确定性（均方差）趋于无穷大，位置均方差渐增趋于固定值

量子力学是基于波函数（几率幅）描述物理事件的，其给出的力学量分布依赖于具体的波函数按。 的值当然也依赖于粒子的波函数的形式，对于一维无限深势阱，粒子位置－动量的不确定性之积为

（７）

不同状态下的不确定度之积是不一样的。随处可见的时间－能量不确定性的诠释认为，能量宽度（或者差别）越大，相应的寿命应该越短。日本关西大学的小山泰教授在研究一类复杂分子的发光时，他们注意到谱线能量越高，而谱线寿命却增加的现象。小山泰教授后来将结果发表在Chemical PhysicsLetters。其实，不同能量的发光过程，涉及的是不同的一组波函数间的交叠问题，发光能量和谱线寿命同步增减也是可能的！

ΔＥΔｔ的困境

　　 的量纲是作用量，的量纲也是作用量。存在式的uncertainty relation,人们自然也希望存在式的 uncertainty relation。但是，在量子力学中，位置、动量和能量都是算符，分别为和哈密顿量 ，而不是，它是参数。也就是说，和的身份不对等，无法使用Robertson的形式证明存在其中Δ为力学量方差的关系式。在人们讨论时可以诠释为”不能同时精确地测量位置和动量”，但是说”不能同时精确地测量能量和时间”就缺乏科学性了。

　于是，我们看到各种版本的Ｅ－ｔ不确定性关系（１）被解释为观测时间，为实验误差；（２）为粒子凭空获得的能量，被解释为可拥有额外能量的时间，这个诠释被用来解释隧穿现象（量子电动力学的虚过程），以及量子过程中不能满足能量守恒的部分；（３）被解释为能级寿命，为谱宽度；（４）Mandelstam-Tamm ：Δｔ被解释为力学量的平均值划过其方差那么大的范围所需的时间，定义；（５）粒子看作是波包，是波包通过某位置的时间； 是波包能量宽度，而是到达时间的方差；（６）Gislason用decaying state得到了关系式，τ 是decaying state的平均；（７）基于混合态振荡的。设有混合态，则观察到对应本征态的本征值的几率包含振荡项,定义特征时间,则有；