克拉尼图形，又称”克拉德尼声音图案”，十九世纪，德国物理学家恩斯特#183;克拉德尼做过一个实验，他在一个小提琴上安放一块较宽的金属薄片，在上面均匀地撒上沙子。然后开始用琴弓拉小提琴，结果这些细沙自动排列成不同的美丽图案，并随着琴弦拉出的曲调不同和频率的不断增加，图案也不断变幻和越趋复杂#8212;#8212;这就是著名的克拉尼图形。克拉尼图形现在常用在电声乐器如小提琴、吉他和大提琴的设计和施工上。 20世纪以来，用于电子信号发生器，实现了更精确的可调频率驱动的扬声器。
　　发现者恩斯特#183;克拉德尼1756年11月30日出生于维滕贝格，1827年4月3日卒于西里西亚（现波兰的弗罗茨瓦夫）的布雷斯劳，自小已懂得斯洛伐克、匈牙利、德三语。1782年，克拉德在莱比锡和维滕贝格攻读法律及哲学，1782年毕业于莱比锡大学。在他父亲死后，克拉尼能更自由地考虑个人的兴趣。他的兴趣是在科学方面。由于他对音乐感兴趣，所以他于1786年开始从数学方面研究声波，他是算出有关声音传播的数量关系的第一个人，因此被誉为声学之父。克拉尼让覆盖著一层沙子的薄板振动。薄板以复杂的方式振动，有一些部分（波节线）保持不动，因此留住了由附近振动区域抖来的沙子。这样，薄板上便出现一幅独特的沙子图形，由此能作出有关振动的许多推断。^[1]

质点或质点系的运动传递着能量和动量。波动被认为是另一种传递能量和动量的过程，所以波动是物质运动的重要要形式之一。波可分为机械波和电磁波（包括光波）。机械波是质点的机械运动在介质中的传播的途径。如弦线上的波、水面波以及空气或固体中的声波等等。

一般，在一维情况下，我们所说的波是指不断前进的波，但在特殊的情况下，还存在着一些”囚禁”在某一空间的波，波只能在这一空间做周期性的振动，其能量也被束缚而不能传递出去，这就是驻波。

驻波是由两列传播方向相反而振幅与频率都相同的波叠加而成的。驻波有一维驻波、二维驻波等。按某些频率激发弦乐器的弦线振动，弦线就会形成一维驻波。当弦线上的前进波遇到障碍物后反射，反射波与前进波叠加就形成了驻波。对于话筒的膜片、锣鼓鼓面，它们形成的驻波分布在平面或曲面上，是二维驻波。把细沙撒在薄板上，当薄板振动时，薄板上的细沙就会显示各种各样的图形，图形随振动频率而变，这种图形是由德国物理学家克拉尼(Chladni)发现的，因而命名为克拉尼图形。用来显示克拉尼图形的薄板就称为克拉尼板。早期是用弓弦摩擦克拉尼板的边缘方法使板振动。现在使板振动的方法很多，用压电陶瓷片使克拉尼板振动的方法就是其中的一种。

驻波的特点是从波形上看不出波在前进，在弦线上的某些点始终不动，这些不动点称为波节；在相邻两个波节中间的点只作上下振动，振动最大处称为波腹。弦线上产生的驻波是一维驻波。而当振动扩展到平面膜或平板上时，所产生的驻波称为二维驻波。

薄板振动的克拉尼图形是一个经典的课题^[2-4]，当前仍然有重要的应用和参考价值^[5,6] 克拉尼图形于18 世纪后叶首先由克拉尼观察到并进行了初始的研究^[7]，他在一个水平放置的上面撒有稀薄沙粒的薄金属平板的边缘用小提琴弓进行上下拉锯以产生小振动，发现细沙会聚集到驻波波节线上形成对称性的图形，现称为克拉尼图形。 根据文献［8］，泊松计算了圆形薄板的克拉尼图形的前几个圆形波节线的半径，对这些半径的数值，萨伐尔在实验上进行了一系列的观测，进一步证实了理论跟实验基本符合^[8]，但他们仅讨论n≤3 个圆形波节线且m≤3( m 为m 阶贝塞尔函数的阶数) 的情况，并且仅限于低频段( f ＜ 3 kHz) 。 虽然有实验室做出了m = 7 的克拉尼图形^[9]，但圆形波节线数n = 0，且频率f ＜ 6 kHz。 无论理论上还是实验上对圆形薄板的高频克拉尼图形的研究目前为止尚未见报道。 在通常的弹性力学和理论声学教科书或参考书^[10-12]中，对圆形薄板的小振动只求解边界卡住( 固定边条件) 和边界简单支承( 或铰链支承) 的情形，而不求解边界悬空( 即自由边条件) 的情形，这是因为边界自由的情形下求解比较困难，需要进行数值计算。

在现在的实验室里, 可以用振动仪清晰的模拟出Chladni图案, 清华大学物理系教授戴明凤对此作了详细的描述^[13] , 此实验的现象和实验步骤常用于说明平面式乐器、小提琴等乐器的工作原理, 还可以应用在这些相关乐器的设计和共振频率的测量上。PaulBourke也对克拉尼盘的干涉表面^[14]和相关的数学问题作了探讨^{[15 -16]} 。考虑到振动仪一般只有在实验室中才有机会使用且机会不多, 且操作时细节掌控得不好便很难观察到清晰、漂亮的图案, 在大学物理实验教学中MATLAB却有方便的应用^[17-18] 。

MATLAB描绘出的Chladni图案清晰、对称, 克服了现实实验中很多环境、人为操作等不利因素。根据上述讨论可知:方程中m, n对图像变化起到决定性因素, 只要根据实验条件确定了Chladnislaw中c、p的值,便可以模拟出各种频率下对应的Chladni图案。读者可以用MATLAB描绘出更多不同情形下的图案进行观察, 相信会发现并不是所有Chladni图案都这么对称、美丽, 特别是m=n的时候。通过MATLAB语言将二维情形下的驻波方程可视化, 由驻波波形图像和波节线图像的对比可以更加全面的了解二维驻波, 从而加深对驻波的理解并帮助体会驻波在现实生活中的应用, 同时也很好地说明了MATLAB的实用性。