摘 要

Abstract II

1 绪论 1

2 热化与局域化 2

2.1 热化 2

2.2 本征态热化假说 2

2.3 局域化系统 4

2.3.1 单粒子局域化 4

2.3.2 多体局域化 5

2.4 量子多体局域化模型 6

2.5 量子自旋系统中的多体局域化 8

3 三者的比较及如何构造MBL模型 10

4 Heisenberg XXZ 模型 12

4.1 模型简介 12

4.2 数值方法 12

4.3 纠缠熵 13

4.4 本章小结 15

5 文章总结与展望 17

参考文献 18

致谢 19

摘 要

多体局域化(Many-Body Localization，MBL)是指相互作用的量子体系不会自发实现热平衡，而会保持对于初始量子态的记忆^[5]。这是近年来物理学家重点关注并且具有丰富潜在应用的新奇物态之一。理解多体局域化的产生机制、相变行为和临界现象是凝聚态物理中重要而紧迫的问题。本文主要介绍了近些年量子多体局域化的一些基本概念及其研究进展。本文首先介绍热化以及本征热态化假设，从单粒子的Anderson局域化扩展到多粒子有相互作用的无序系统中的多体局域化；其次介绍了量子多体局域化的一些特性；最后，以XXZ模型为例简要揭示纠缠熵概率分布对量子多体局域化的表征特点以及规律。

关键词：Anderson局域化；纠缠熵；多体局域化；Heisenberg XXZ模型

Abstract

Many-Body localization (MBL) means that the interacting quantum system will keep the memory of the initial quantum state instead of spontaneously achieve thermal equilibrium. This is one of the novel states that physicists focus on and have rich potential applications in recent years. Understanding the generation mechanism, phase transition behavior and the critical phenomena of Many-Body localization is an important and urgent problem in condensed matter physics. This paper mainly introduces some basic concepts and some progress of researches of quantum multibody localization in recent years. We introduce the hypothesis of thermal and intrinsic thermal localization at first in this paper, then we extends from Anderson localization of single particle to Many-Body localization in the disordered system with multi particle interaction; secondly, we introduce some characteristics of quantum Many-Body localization; finally, we briefly reveal the characterization characteristics and rules of entanglement entropy probability distribution to quantum Many-Body localization with XXZ model as an example.

Key Words：Anderson's localization; entanglement entropy ; many-body localization; Heisenberg XXZ model

1. 绪论

近年来，关于量子多体局域化理论研究逐步开展，我们认为多体局域化（Many-Body Localization, MBL）态是不同于遍历态的另一种相态，且其间存在临界点^[1]。当无序足够强时，由于共振几乎不存在，所以多体局域化相对热化是稳定的。在改变无序强度或其他控制参数时，多体局域相的改变为我们提供了一个机会来研究量子系统中的热化现象——极有可能是通过接近临界点的控制来实现的。在Anderson建立量子多体局域化模型之后，物理学发展出来许多的新的数值和分析方法（例如，Matrix Product States, MPS、Density-Matrix Renormalization Group, DMRG、以及张量网络算法^[2]）。单粒子的局域化就像量子自由度一样，正是这种单粒子局域化没有相互作用，使得研究难度被降低，在此后的半个世纪里受到了极大的关注。巴斯科等人对非零温度相互作用情况下多体局域化问题进行了非常深入的研究，这一课题正受到越来越多的关注。非零温度下的多体局域化是一种量子相变，对多体量子物理和统计力学都有着非常重要的意义：它是平衡态量子统计力学失效的量子“玻璃相变”。在局域化阶段，系统无法达到热平衡。

多体局域化现象发生于很大范围内的粒子、自旋和q-bit模型。我们在学习时最为简单的做法就是建立一个自旋系统——在z轴存在随机场的海森堡自旋1/2链。自旋为1/2的海森堡链在零温度下表现出准长程磁序的量子临界区。

本文第二章分别给出了热化，Anderson相变，多体局域化的相关概念。随后第三章讨论了这三者之间的区别和联系，并总结了相关特点。之后文章的第四章在自旋为1/2的自旋链中引出了海森堡XXZ模型，粗略地找到了纠缠熵的概率分布对量子多体局域化的表征特点以及规律。

1. 热化与局域化
   1. 热化

本节讨论量子热化的明显悖论。处于热平衡状态的量子系统的全部特征是具有少量参数（温度、化学势等：每一个广泛守恒量对应一个参数），这表明进入热平衡的过程与系统对其初始状态的所有其他细节的数值被抹去有关。然而，幺正时间演化不能抹去信息，因此关于初始状态的所有量子信息必须一直保存在（封闭的）系统中。解决这一明显悖论的办法是，系统初始状态局域性质的数值不会被幺正时间演化抹去，而是在系统热化时隐藏起来。量子纠缠的扩散会移动关于初态的信息，因此在很长一段时间内它是不可测量的，因为恢复这些信息需要测量全局算符^[2]。这是退相干的过程。特别是，如果我们只考虑一个特定的子系统，它是整个系统的一小部分，那么热化意味着，在很长一段时间内，这个子系统的状态处于热平衡状态，与以温度T、化学势μ等为特征的储层接触，因为事实上，水库是我们封闭系统的剩余部分。在平衡量子统计力学下，量子系统是其子系统的储层。我们现在提供了量子热化的更精确的描述。为了使讨论尽可能简单，我们考虑一个除了能量之外没有任何广泛守恒量的封闭系统，因此如果它热化，热状态由一个参数，即温度来描述。对具有几个守恒量的系统的推广不需要在这个简单的例子中附加没有的实质性的概念。

完全不平衡的初始状态中的热化具有重要意义。这是不典型的初始状态（因为在平衡状态下，系统处于典型状态）。因此，当我们说一个系统热化时，它必须适用于一些非典型的初始状态。在平衡统计力学中，在这个能量下，所有不平衡的初始状态在无限时间内热化，在相应的温度下达到平衡。因此，假设一个系统在给定的温度下发生热化，这就意味着该能量下的所有初始状态都发生热化，这似乎是合理的。这是一个强有力的声明，有一些强烈的后果。它似乎远远超出了任何一般系统所能证明的范围，但它与目前所知道的关于热化系统的情况是一致的。

• 1. 本征态热化假说

如果在给定温度下的系统对每一个这样的初始状态进行热化，那么考虑将系统初始化为一个纯状态，即哈密顿量H的多体本征态之一，是很有指导意义的。然后系统的时间演化所产生的影响变得微不足道：，所以所有初始态的热化意味着哈密顿量H的所有多体本征态都被热化。这种说法被称为本征态热化假说（Eigenstate Thermalization Hypothesis, ETH）。在我们更详细地讨论ETH之前，必须说明的是，我们没有考虑H的确切本征态，因为这些是多体系统的实际状态。相反，它们不可能作为初始状态在实验室中制备。实际上可以制备的多体系统的初始状态甚至不是纯态，更不是本征态^[3]。与以往一样，对本征态的关注是因为它们是理解动力学过程的重要工具。