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摘 要

随着科技的发展，量子力学这门基础物理学科在生活中的重要性越来越突出。无论是半导体相关器件的发展还是量子计算机这种高新科技的诞生，都离不开量子力学的理论与实验发展。而半导体器件的性能，特别是与导电性，与半导体中的PN结密切相关。现如今，半导体也由原先的单一半导体发展到现在的合成半导体，因此出现了不同类型的异质结。异质结问题从某种程度上来说可以看作粒子在不对称势阱中的运动。本文就将半导体中的异质结抽象为一种理想的不对称势阱，基于薛定谔方程和计算机编程计算，研究了粒子在不对称势阱中运动的能量本征值和本征函数，从而进一步了解了微观粒子的运动规律。

关键词：异质结；势阱；本征值；本征函数

The energy Eigenvalues and Eigenfunction of Moving particle in Asymmetric potential well

Abstract

With the development of science and technology, the basic physics of quantum mechanics is becoming more and more important in life. Whether it is the development of semiconductor-related devices or the birth of high-tech technology such as quantum computers, the theoretical and experimental development of quantum mechanics is inseparable. While, the performance of semiconductor devices, especially with conductivity, is closely related to the PN junction in semiconductors. Nowadays, semiconductors have also evolved from the original single semiconductor to the current synthetic semiconductor, and the heterojunction has arisen. The heterojunction problem can be seen to some extent as the motion of the particles in the asymmetric potential well. In this paper, the heterojunction in semiconductor is abstracted into an ideal asymmetric potential well. Based on the Schrödinger equation and computer programming, the energy eigenvalues and eigenfunctions of the particles moving in the asymmetric potential well are studied to understand the laws of motion of microscopic particles.

Keywords: Heterojunction；Potential well；Eigenvalue；Eigenfunction

目 录

摘要 Ⅰ

Abstract Ⅱ

第一章 引言 1

1.1量子力学势阱问题的现状及起源 1

1.1.1 量子力学势阱问题的现状 1

1.1.2 量子力学势阱问题的起源 8

1.2研究思路和技术方法 8

第二章 量子阱的模拟计算 13

2.1对称势阱的能级解 13

2.2 半边不对称无限深势阱的能级解 18

2.3 一般不对称有限深势阱的能级解 21

第三章 总结 26

参考文献 17

致谢 30

附录 31

第一章 引言

1.1量子力学势阱问题的现状及起源

1.1.1 量子力学势阱问题的现状

通常量子力学不是被人所熟知，因为它研究的对象比较的前沿，不管是任何的领域或是微观的角度去叙述，都是很浅显的，不能较好的解释它。现在量子领域已经在生活使用的很广了。小到日常生活中的电子器件、大到量子通信，现在还出现了量子计算机，这些是离不开量子力学的。因此能够认为量子力学^【1】的进步，推动现代计算机、通讯产品的出现、进而带动21世纪人们方便快捷的生活，如图1-1就展示了量子力学在人们生产生活各个领域的应用。

图1-1 量子力学在生产生活中的运用的举例

比如现代材料科学，在研究材料性质、进行微观材料结构的分析时，其也不可避免的运用量子力学的基本知识对其进行能带^【2】，电子结构的分析，从而从材料的微观结构上了解材料的力、热、光、电和磁等宏观物理性质，用在生产生活的各个领域。如我们生活中广泛使用的液晶显示器，就是量子力学和材料科学相结合的成果（如图1-2）。

图1-2 液晶显示器

在医学方面，近年来,基于量子力学原理，二维层状纳米材料^【3】在生物医学领域引起研究人员的广泛关注。专家利用超声与溶剂热剥离对MoS₂与WS₂^【4】等混合物处理,完美的制作出MoS₂与WS₂等物质。利用抗坏血酸催化氧化实验,专家们第一次制作出纳米物质的MoS_2与WS₂，同时它们都有类氧化酶特点,且MoS₂等活化酶类^【5】活性大于WS₂质。实验结果证明了纳米物质都可以氧化抗氧化物质-谷胱甘肽,同时对大肠杆菌与阳性菌等物质都是有很好的抗菌作用。对治疗某些疾病具有非常显著的作用。另一方面，基于量子力学知识所研发的现代医学工具，如共振检测仪（如图1-3）也在医疗、诊断病情方面取得了显著的成果。

图1-3 量子共振检测仪

现如今，随着量子技术的发展，量子计算机这一原本只存在于想像中的产物，也开始慢慢进入历史舞台之中。

量子计算机最大的特点就是计算速度很快，且同时大于普通计算机的性能。通常在普通计算机中，它的内部存储信息使用二进制进行编码存储，这种方式被叫做比特方式。但是量子计算机却不是这样的，它有自己内部存储的原理，能够在量子比特上进行计算，即便是运算二进制的数据值的时候。可以举出很简单的事例，想象如果在磁场中的原子，它可以进行旋转，但是它的旋转方向却是多样的，在经典物理学中，它的旋转方向只能在两个方向上，但是在量子力学中，旋转情况却是可以叠加的。通过不同态的叠加，其形成了远远超过0,1数目的各种态。利用这种态的叠加方式进行运算，其速度就远远超过了经典的计算机。

此外，量子计算机在密码破译、网络安全方面也有着十分重要的地位。比如RSA计算方式，被大量的使用在信息安全保护上的算法，它可以使用计算机较难实现的因数分解来加密。举一个很简单的例子：一个数字10，可以很快被分解为2和5两个素数的乘积。但如果数字变成了62615533或者更加复杂的数字，就很难去进行相关的因式分解。

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