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摘 要

对于均匀磁场中的三量子位海森堡模型，格点间相互作用的对称性使得任意两格点间的量子纠缠与量子相干相同。人们研究了该模型中的量子纠缠的特征，并得到一些有趣的结论。在本文中，我们通过模拟一个格点的磁性杂质，来研究非均匀磁场对海森堡模型的量子相干的影响。一个由两格点组成的双体系统是通过对三个格点中的一个格点经过求迹运算得到的，所以其量子相干明显取决于杂质所处的位置。当杂质放置于被求迹运算的那个格点上时，换言之，当它视为一对格点的外场时，计算发现相干可增强到比1还大的值，但永远不会小于0。

关键词：量子相干 量子纠缠 约化密度矩阵

Abstract

For a three-qubit Heisenberg model in a uniform magnetic field, the quantum entanglement and quantum coherence of any two sites is identical due to the exchange symmetry of sites. The characteristics of quantum entanglement in this model are studied and some interesting conclusions are obtained. In this paper we consider the effect of a non-uniform magnetic field on the quantum coherence of Heisenberg model, modelling a magnetic impurity on one site. Since a double system consisting of two sites is calculated by tracing out one of the three sites, the coherence clearly depends on which site the impurity is located. When the impurity is located on the site which is traced out, that is, when it acts as an external field of the pair, the calculation finds that the coherence can be enhanced to the value which is greater than 1 and reduced to the value which is not smaller than 0 forever.

Key words: quantum coherence，quantum entanglement，

reduced density matrix

目 录

摘要 I

Abstract II

目 录 III

引 言 1

第一章 基本概念和背景 2

1.1量子相干 2

1.1.1概念 2

1.1.2经典相干与量子相干的区别 2

1.1.3量子相干的度量 2

1.2量子纠缠 3

1.2.1概念 3

1.2.2量子纠缠的度量 3

1.1.4量子相干的研究成果 3

1.2.3量子纠缠的研究成果 4

1.3量子相干和量子纠缠的关系 4

第二章 带有磁性杂质的海森堡XX模型 6

2.1 引言 6

2.2 哈密顿矩阵H及其本征态、本征值 6

2.3 密度矩阵 9

2.4 约化密度矩阵 11

第三章 相干性和纠缠态的度量 14

3.1 相干性的度量 14

3.2 纠缠态的度量 16

3.3 16

3.3.1 反铁磁情况（Jgt;0） 16

3.3.2 铁磁情况（Jlt;0） 18

3.4 20

3.3.1 反铁磁情况（Jgt;0） 21

3.3.2 铁磁情况（Jlt;0） 23

第四章 总结和展望 26

4.1总结 26

4.2困难与解决方法 26

第五章 附录 28

附录一：matlab求解相干性F和纠缠度C 28

附录二：fortran求解 29

参考文献 33

致谢 34

引 言

自然界中水波、声波等机械波的干涉现象是最早被人们观察到的相干现象。然而直到17世纪［1］，对光本质的认识，即光的微粒说和波动说之争才真正意义上将相干现象纳入实验范畴。至此，经典相干不管理论上还是实验上都不断走向成熟。

时代在发展，技术在进步，相干已不仅仅局限在宏观世界，转而进军微观领域，从经典相干过渡到了量子相干。这一巨大过渡，对近代物理学的发展起到了促进作用，成为了量子信息理论的重要组成部分。

同样在量子信息理论里担任重要角色的还有量子纠缠。1935年，薛定谔最早提出纠缠的概念，从此关于它的研究就一直没有停止过。之后著名的EPR佯谬和贝尔不等式等都无异议地支持并深化了量子力学观点，同时也开辟了量子信息学等这样一些有广大应用前景的新研究方向。

由此来看，量子相干和量子纠缠都极大促进了量子物理的发展。为顺应时代潮流，发展科学事业，开拓新型研究领域，我们有必要更加深入了解和不断完善相关的课题研究。

第一章 基本概念和背景

1.1量子相干

1.1.1概念

量子相干是一种量子现象，它与经典相干完全不同，是基于量子态的叠加性原理的。它描述了在同一量子系统中若干个不同态叠加为一个纯态的情况。作为量子力学最基本的性质之一，量子相干性产生了很多新奇的量子效应，比如电子双缝干涉、纠缠光子、量子霍尔效应等［2,3］。

1.1.2经典相干与量子相干的区别［4］

经典相干和量子相干形似而质不同，具体表现在如下三个方面：

第一，所描述的波不同。经典相干描述的是机械波。机械波是质点在媒介（如水、空气）中做上下（左右）的简谐振动产生的，是真实存在的波，有时人可以看到或者感觉到。而量子相干的波是几率波。1924年， de Broglie提出了微观粒子同样具有波粒二象性的假说。因此，粒子坐标和动量不可能同时具有确定值。为了更好地描述粒子的量子状态，我们引入了波函数。波函数是概率波，描述的是微观客体不定性的统计规律，反应的是一种几率分布。

第二，干涉图样形成的不同。由于经典相干所描述的波在媒介中传播，我们可以比较容易地观察到干涉图样。但量子相干所描述的波不需要依靠媒介就能形成，所以不能直接得到干涉图样。但是我们可以在大量微观粒子共同作用下，通过观察集体的外在表现来间接得出类似于经典相干的干涉图样。

第三，叠加原理不同。经典力学中质点振动和波的传播都是相对独立的，因此直接可以实现叠加，并且形成一个新的波。而量子力学中的叠加是态叠加性原理：当粒子处于态和的线性叠加态时，粒子是既处在态，又处在态。它所描述的两列波不是相互独立的，不能直接实现叠加［5］。

1.1.3量子相干的度量

为了精确量化相干性，Baumgratz［6］等人给出了基于相对熵和L2范数的相干性度量。我们总是通过量子态扫描得到系统整个量子态密度矩阵，再根据其非对角元的大小进而间接达到测量量子相干性的目的。然而它具有一个明显的缺点，那就是对量子态的扫描过程非常繁琐。本文主要利用反信息中的信息内容和相对子系统的局部可观察值之间的差异来度量相干性的。

1.2量子纠缠

1.2.1概念

量子纠缠是量子力学特有的重要性质，是一种测量参数。它对一个复合系统（具有两个或者两个以上的子系统的系统）的测量结果无法独立于其他的子系统，是一种奇妙的物理现象。这种现象的产生来源于复合系统的叠加性原理。量子纠缠不拘泥于形式，它不是一个纯形式的东西，不完全由表达式来决定。它是一种物理存在的状态，在两体及多体系统中极其重要。

1.2.2量子纠缠的度量

给定一个纯态，确定它是否纠缠是非常容易的，利用Schmidit分解的性质，或等价地利用约化密度矩阵的秩就可以计算。然而，对于混态来说纠缠态的判别则是很困难的。

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