论文总字数：9867字

摘 要

Abstract II

第一章 引言 1

1.1半导体、光子晶体、声子晶体的带隙 1

1.2扭转波 1

1.3 理论模型及思路 2

第二章 一维单圆盘链与一维双圆盘链色散关系 3

2.1 一维单圆盘链色散关系 3

2.2 一维双圆盘链色散关系 5

第三章 带有弹簧振子的圆盘的有效转动惯量 8

第四章 带有弹簧振子的一维单圆盘链的色散关系 11

第五章 带有弹簧振子的一维双圆盘链的色散关系 15

结论 19

致谢 20

参考文献 21

扭转波及带隙效应

摘 要

本文首先对于扭转波、半导体、光子晶体、声子晶体的带隙进行了介绍；然后通过在圆盘上添加弹簧振子的方法实现了负的有效转动惯量；最后计算出带有弹簧振子的一维单、双圆盘链的色散关系并作出其图像分析其带隙效应。

关键词：扭转波 声子晶体 负的有效转动惯量 带隙效应

The Torsional Wave and Phonon Band Gap Effect

Abstract

First, the torsional wave, the band gap effect of the semiconductor, photonic crystal, and sonic crystals are introduced in this paper. Then, we make the minus effective moment of inertia come true by adding to spring oscillators on the disk. Finally, we compute the dispersion relation of the one-dimensional single-disc chain and the one dimensional double-disk chain, then make the function image of them and analyze its band gap effect.

Key words: Torsional wave; Sonic crystals; The minus effective moment of inertia;

Band gap effect

第一章 引言

1.1半导体、光子晶体、声子晶体的带隙

固体中电子的能量是一些不连续的能带，有自由电子存在才能够导电，自由电子存在的能带称为导带，被束缚的电子从价带跃迁到导带所需要能量的最小值就是禁带宽度，也称为能带的带隙。

光子晶体是由不同折射率的介质周期性排列而成的人工微结构，当电磁波在光子晶体中传播的时候，由于存在布拉格散射而受到调制，电磁波能量形成能带结构，能带之间的间隙就是光子带隙。所具能量处于光子带隙内的光子在光子晶体中能量会不断衰减，不能通过光子晶体。

声子晶体是弹性常数及密度周期分布的一种结构，由于布拉格散射和局域共振，声子晶体产生了声子带隙。弹性波在声子晶体中传播的时候，频率范围在带隙内的波会一直衰减而无法通过声子晶体。本文中所提到的带隙效应便是类似于声子晶体的带隙，波的频率在带隙之中便无法通过。

1.2扭转波

众所周知，振动方向与传播方向正交的波被称为横波，振动方向与传播方向平行的波被称为纵波。但是，有没有这样一种波，它的振动方向和传播方向既不是一直垂直也不是一直正交，它的振动方向与传播方向之间的角度在不停地变化呢？事实证明，这种波是存在的，人们称之为扭转波。比如一个一维的单圆盘链，圆盘偏离平衡位置的角度为，则序数为的圆盘的运动受到相邻的序数为和的圆盘的影响，在这个链中传播的波的振动方向一直在变化，而传播方向一直保持不变，这种波就是扭转波。这篇文章中讨论的就是扭转波在链中的传播过程以及色散关系，下文就简称波，而不一一赘述为扭转波。

1.3 理论模型及思路

我们建立了不带弹簧振子和带有弹簧振子的一维圆盘链超构材料模型，利用弹簧振子实现圆盘负的有效转动惯量，并从理论上计算出色散关系，再用计算机作出其色散关系函数图像来分析其带隙效应。

第二章 一维单圆盘链与一维双圆盘链色散关系

2.1 一维单圆盘链色散关系

图2-1 一维单圆盘链示意图

如上图所示的一维单圆盘链，每一个圆盘都是完全相同的，圆盘半径为，质量为，圆盘偏离中心位置的角度为…,,,,…，圆盘的转动惯量为,且，圆盘的回复系数为。假设仅仅只有相邻的圆盘之间存在着相互作用，相互作用能简谐近似，则圆盘的力矩：

（2-1）

将

代入（2-1）中，得到：

化简，得到：

为了得到与的关系，将上式改写为：

（2-2）

我们将式（2-2）称为一维单圆盘链的色散关系，用MATLAB做出其图像：

syms x;

x=0:pi./50:pi;

w2=(sin(x)).^2;

plot(x,w2);

图2-2 一维单圆盘链色散关系

可以看出，一维单圆盘链的 被限制在这个区间之内，只有这个区间内角频率的声波才能够通过一维单圆盘链，其他角频率的声波都被屏蔽而无法通过此链。

2.2 一维双圆盘链色散关系

图2-3 一维双圆盘链示意图

如上图所示的一维双圆盘链，大盘和小盘交替排列，其中小盘的质量为，大盘的质量为；小盘的半径为，大盘半径；小盘的转动惯量，大盘的转动惯量。

我们假设每一个盘偏离平衡位置的角度为，圆盘的回复系数为，序数为的是小盘，序数为的是大盘。假设仅仅只有相邻的圆盘之间存在着相互作用，相互作用能简谐近似，不难得出两个盘的运动方程：

（2-3）

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