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强非局域非线性介质中的厄米特-高斯呼吸器和

孤子

摘要：基于笛卡尔坐标系下的斯奈德-米切尔模型，在强非局部非线性介质中得到了精确的分析Hermite-Gauss(HG)解。 解析解与非局部非线性薛定谔方程数值模拟的比较表明，在强非局域性的情况下，解析HG解与数值模拟结果吻合较好。 此 外，我们还证明了HG函数可以表示为在适当条件下具有pi;相差的单个高斯函数的线性叠加。 copy;2007年美国光学学会

1. 导 言

众所周知，非局部非线性介质中的光学空间孤子最近受到了广泛的关注[1–30]由于它们在光子开关中的丰富潜在应用[1]全光开关和逻辑门控[2]和全光信号处理[3]。光孤子是利用衍射和非线性的平衡而存在的自陷束。当衍射和非线性之间的平衡被打破时，光学光束变成呼吸。利用非局部非线性薛定谔方程对光束在非局部非线性介质中的传播进行了建模(NNLSE)[1,4,5]. 斯奈德和米切尔[1]将NNLSE简化为一个名为Snyder-Mitchell模型的线性模型[31]在强非局域情况 下，他们发现了一个精确的高斯形状的平稳解，称为可接近孤子。随后，Assante的团队观察到向列相液晶(NLC)[6,7]中的可接近孤子，称为向列粒子[3]他们从理论上证明了[6]和实验[7]NLC是一种强非局域非线性材料。最近，郭氏小组利用泰勒的展开方法，找到了具有对称实空间响应函数的强非局部非线性介质(SNNM)中NNLSE的一个新的近似模型；他们得到了高斯呼吸器的精确解，以及高斯孤子与其局部对应物的大相移[8–10]。

在局部非线性介质中，由于相对相位的裂片之间存在着自然排斥，复杂形式的孤子不能自导。在非局部非线性介质中，非局域性使得克服非相[11-16]，32]或同相暗孤子之间的排斥成为可能[17]这种排斥可以形成在ON中观察到的束缚态电子维的设置[13,18]。麦克劳克林等人，预测了NLC可以维持高阶模孤子，并通过数值模拟[19]得到了几种高阶模解。然后，博特等人用实验证明，高阶模孤子在NLC[13]中是稳定的。由Xu等人研究了多极模孤子在非局部非极性介质中的稳定性，[14]。罗特柴尔德等人[20] 介绍了在SNNM中对标量多极孤子的实验观测结果。布科列罗等人介绍了非局部非线性介质中的拉格尔和埃尔米特孤子星团。[21]。然而，据我们所知，在SNNM中，具有Hermite-高斯(HG)形式的精确解析解仍未被探索。因此，有必要推导出SNNM中HG形式的精确解析解。 本文的目的是介绍HG解，并研究它们在SNNM中的传播特性。

本文的组织结构如下。首先，基于矩形坐标系中的斯奈德-米切尔线性模型，得到了(1 D)维(D =1，2)SNNM中HG形式的解析解。其次，我们讨论了解，给出了解析解与NNLSE数值模拟的比较，发现任意阶HG函数都可以表示为在适当的条件下具有pi;相差的单个高斯函数的线性叠加条件。HG孤子可以被认为是单个高斯孤子的束缚态。最后，给出了一个结论。

1. （1 1)-维度H G呼吸器和孤子的Snyder- Mitchell模型

光束在(1 D)-维度(D=1，2)非局部立方非线性介质中的传播由NNLS E[1,4,5]管理：

其中是一个近轴光束，z是纵坐标，,是在无线性介质中的波数，eta;是一个材料常数（eta;gt;0或者eta;lt;0对应于一种聚焦或离焦的材料）,x和xacute;是d维的横向坐标矢量,是d维横向拉普拉斯算子，R是介质的规范化对称实空间响应函数。

对于强非局部情况，NNLSE可以推导为斯奈德-米切尔线性模型[1,9,10]：

其中，gamma;(gt;0)是与响应函数R相关联的材料参数，r=|x|是距离坐标系中光束中心的横向距离，而是在z=0处的光束的输入功率。

对于(1 1)尺寸情况，等式（2）可以减少为:

我们正在寻找一个解决Eq的解决方案, 通过(3)将它写成这两个函数F(x ,z)和的乘法,

替换等式（4）已进入等式（3），我们获得了

如果我们假设一下

然后同时我们可以从等式（5）中获得，

已知[1,9]等式（6）的解决方案是高斯函数，

其中是高斯光束的光束宽度，表示光束的相位前曲率，而是复振幅的相位。它们分别由[9]提供，

其中，是z=0,处高斯光束的初始光束宽度，而是孤子传播的临界功率。方程（9）证明了z的相关函数，这是由斯奈德和米切尔[1]得到的高斯函数的光束宽度，如果，沿传播z周期性振荡。如果我们把分成等式（9）的两边，等式（9）变成了等式（4）获得了斯奈德和米切尔[1]。

替换等式（8）已进入等式（7）收益率

进行变量转换

并使用等式(9)和(10)，我们可以减少等式（13）到

通过使用分离变量的方法，使等式（15）分为以下两个微分方程：

其中，n是一个整数；等式（16）是著名的埃尔米特微分方程[33]。通过（16）和（17），我们可以推导出来

然后通过替换等式（8）、（18）和（19）转换为等式（4），可获得等式的精确解（3），

其中，为标准化系数，和均由等式（9）-（12）给出。当n=0，等式（20）被简化为0阶高压解，即高斯解，

方程（21）是斯奈德和米切尔在11-维的情况下[1]得到的高斯解。

1. 对解决方案的讨论

hg形的解决方案是等式的精确解决方案（2），但大概是和等式一样的(1).正在比较等式（21）与等式合作（20），我们发现HG光束c(z)的相前曲率与高斯光束完全相同。相位theta;(z)与高斯解相同，除了一个额外的相位 2ntheta;(z).

1. 与NNLSE的数值模拟方法的比较

图1-3显示笛卡尔坐标系中斯奈德-米切尔模型的精确解析解与等式数值模拟的精确结果的比较(1). 它可以从图中找到，1-3认为解析解与数值模拟结果吻合良好。

为了模拟传播，我们使用输入的HG光束参数，即，假设材料响应是高斯函数[4,5,8]，即，, 其中为材料响应函数的特征长度，表示材料非局部性的程度；对于数值模拟，，即初始HG光束宽度，可以通过使用光束宽度的二阶力矩的定义来获得。alpha;值越少，非局部性就越强。显然，对于材料响应函数的固定特征长度，alpha;随着HG光束的模式数n的增加而增加非局部性的程度变得很弱。标准化变量由、X=x/和.给出在本文中，材料响应功能且标准化变量相同，且所有数字均为alpha;=0.1。

图1所示，在高斯形响应材料中，（1 1）-维(a)一阶、(b)二阶和(c)三阶模式HG呼吸器的归一化强度曲线的演变。实心曲线，数值模拟；开圆，分析解决方案。(d)、(e)和(f)中的固体曲线和开圆分别对应于(a)、(b)和(c)在Z=4处的归一化强度分布。这些参数被选择为，。

图2所示，在高斯形响应材料中，（1 1）-维(a)一阶、(b)二阶和(c)三阶模式HG呼吸器的归一化强度曲线的演变。实心曲线，数值模拟；开圆，分析解决方案。(d)、(e)和(f)中的固体曲线和开圆分别对应于(a)、(b)和(c)在Z=4处的归一化强度分布。这些参数被选择为，。

1. HG呼吸器

当时，光束衍射最初克服波束诱导折射，光束开始膨胀，而相反，当时光束开始收缩，如图所示1和2。这些是HG呼吸器，其宽度在沿z轴直线移动时周期性振动。

当m=0，等式时（20）被简化为0阶HG（高斯）呼吸表达式，等式(21)。

第一阶、第二节和第三阶高压呼吸器分别表示为：

正在比较等式(22)-(24)与等式(21)合作，很容易看出，高阶高压呼吸器的c(z)的相前曲率与高斯呼吸器的相前曲率相同；高压呼吸器的相位进入增加模式编号n的增加。图1和图2表明，当输入功率和材料的程度n时，解析解与数值模拟之间的差异随模数n的增加而增大本地性alpha;是相同的。

图3所示，在高斯形响应材料中，（1 1）-维(a)一阶、(b)二阶和(c)三阶模HG孤子在高斯响应材料中的静止传播，距离为Z=10。实心曲线，数值模拟；开圆，分析解决方案。(d)、(e)和(f)中的固体曲线和开圆分别对应于(a)、(b)和(c)在Z=4处的归一化强度分布。这些参数被选择为，。

1. HG孤子类

当时，衍射被非线性完全平衡，这些HG孤子在沿z轴沿直线运动时保持它们的宽度,当，等式（20）被简化为HG孤子的一个表达式，

其中，传播常数是由

用中文书写的等式（25）等同于等式（28）的（16），等式（27）表明，传播常数随着模数n的增加而增加。

当n=0，等式（25）被简化为0阶高斯孤子表达式

从图3中可以很明显地看出，这些不同的顺序模式的HG光束作为距离z的函数保持不变。如预期所料，我们的数值模拟与我们的解析非常一致。如果我们按初始强度的最大值归一化该强度，如下图所示，图3(d)和3(e)与[19]中的图7(b)相一致，在[19]中的7(a) 是著名的高斯(0阶HG)孤子，证明了[19]中显示的波导模是本文得到的几种符号模HG孤子。间接地证明了NLC是强非局域非线性介质之一。

1. 带pi;-相位差的单个高斯函数的线性叠加表达高阶HG函数

两个离相高斯函数的线性叠加可以表示为

一阶HG函数可以写为

泰勒扩展了相对于等式（28）中的在处，可以获得