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PT对称周期势中的非局域多峰孤子

摘要：本文研究了一维奇偶时间对称周期势中非局域多峰间隙孤子的存在性和稳定性。它们可以存在于散焦非局域非线性的第一个间隙中，也可以存在于聚焦非局域非线性的半无限间隙中。这些孤子在散焦非线性中是稳定的，但在散焦非线性中是不稳定的。对于多峰孤子，非线性对折射率的贡献形状也是多峰。这些孤子的强度分布的稳定性和形状将因非局域程度而改变。除此之外，我们还研究了这些孤子的横向功率流。

关键词 非线性光学；克尔效应；空间孤子

1. 引言

Bender和Boettcher发现，如果非厄米哈密顿量具有奇偶时空（PT）对称性[1]那它们的本征连续谱也可以是实数谱。从理论上讲，对于一般的哈密顿算符为PT对称（p和X分别是动量和位置算符）的必要（不充分）条件 是V(x)=V*（-x）[ 2 _– 4 ]。因此，PT势的实部应该是偶函数，而虚部必须是奇数。在开拓性的工作中[2]，Musslimani等人，首先研究了一维（1D）和二维（2D）PT对称周期电势中的光孤子，他们还研究了这些孤子中的横向功率流。

从那以后，PT对称势[ 10 ^– 23 ]中的PT对称性[ 3 ^– 9 ]，线性模式和孤子（非线性模式）已经在理论和实验上得到了广泛的研究。缺陷线性模[ 12 ]和孤子[ 13，14 ]可以存在于缺陷PT-对称周期性电位或Kerr型非局域非线性不同间隙存在。一维和二维PT对称周期电势中孤子的稳定性分析已得到仔细研究[ 15 ]。非线性PT对称系统[ 16 ]和PT对称非线性周期势中的孤立子[ 17，18 ]也被调查。在Kerr非线性的PT对称双核系统中找到了孤子的精确对称和反对称解的族[ 19 ]。

另一方面，非局域中的孤子研究也引起了很多关注[ 24 ^– 31 ]。通过实验研究了向列液晶中的非局域空间孤子相互作用[ 24 ]，并且在实验中观察到了在高度非局域非线性介质中的二维多极孤子[ 25 ]。还对非局域非线性中的表面波孤子进行了实验研究，这些孤子对表面表现出强大的吸引力[ 26 ]。在理论工作中，链条和矩阵形式的稳定高阶孤子可以在非局域非线性介质中稳定存在[ 27]。徐等人发现，非线性响应的非局域性会影响孤子的迁移率[ 28 ]。印在非局域介质中的光学晶格可以支持稳定的基本和偶极表面孤子[ 29 ]。在非本地媒体上也有新的一类稳定的双涡旋孤子[ 30 ]。最近，证明了在具有非均匀自排斥非线性的一维散焦非局域介质中存在稳定的明亮基波和偶极孤子[ 31 ]。

在我们以前的有关在PT对称非局域孤子的工作中[ 20，21 ]，我们只研究了基本孤子（单驼峰孤子），和这些基本孤子由改进的平方算子法[32 ]，和频谱重整化方法[ 33 ]。

已经研究了具有散焦非线性的实光学晶格中的多峰孤子[ 34 ]和具有竞争非线性[ 22 ]和散焦非线性[ 23 ]的PT对称光学晶格中的多峰孤子。在这些工作的激励下，在本文中，我们研究了具有散焦和聚焦非线性的PT-对称周期势中多峰（3个或更多峰）孤子的存在性和稳定性孤[22 ，23] 。通过研究PT对称势中的多峰孤子，我们可以研究非局限程度对这些孤子的形状，能量流和传播的影响。

在本文中，我们研究了多峰孤子在PT对称周期势中的存在及其稳定性。对于散焦非线性，可以在第一个间隙中稳定存在多峰孤子。对于聚焦非线性，这样的孤子存在于半无限间隙中，但它们是不稳定的。非局域化程度将影响多峰孤子的强度分布的稳定性和形状。对于PT对称周期势中的多峰孤子，非线性对折射率的贡献也有多峰的。但是对于单脉冲孤子，形状为一个驼峰，并且孤子的横向功率流较少。尽管多峰孤子可以在散焦非线性的光学晶格中的第一间隙的宽度中稳定存在，但这些孤子没有虚部，并且在这些孤子内也没有横向功率流。

1. 理论模型

具有非局域非线性的PT对称复周期势中的光束传播可以写成标准的一维非线性薛定谔耦合方程[ 2 ，28，29 ]

（1a）

(1b）

在这里，U是复数场振幅，n是对折射率的非线性贡献，d是非局域性的程度（d→0 ：系统（1）描述了局域非线性响应，并且d→infin;表示有很强的非局域性，）其中x和z分别是归一化的横向和纵向坐标。分别表示的是聚焦和散焦非线性。我们选择PT对称的实部对称电势 [ 34 ]，虚部为[ 2 ，22，23 ]，其中是控制PT-对称光学晶格深度的参数,是虚部的相对振幅。

在本文中，我们选择=10 [ 12 ]和=0.1[ 22，23 ]，除非另有说明。该PT对称光学晶格的临界阈值为[ 22 ]。高于此阈值，PT对称性将被破坏。在等式中（1），PT对称周期性电势表示复折射率。实际上，可以通过使用具有增益或损耗的复数折射率分布来创建这样的电势，其中代表增益或损耗分量[ 8 ]。根据PT对称条件：，。

在物理学中，x和z分别缩放为输入光束的宽度和衍射长度 。这里，是背景折射率，是波数。格子深度被缩放到。所以，如果我们选择x₀ =10mu;m，n₀ = 1.5 ，lambda;₀ = 1mu;m，则x = 1到10mu;m，z= 1到1.885mu;m,,对应于折射率的最大变化为。

我们搜索方程的平稳多峰孤子解，（1）表示为：，其中q（x）是复函数，mu;是相应的实传播常数。因此，q满足:

(2a)

(2b)

通过将q = h ie 即（h和e是实数）代入等式 （2），我们可以得到耦合方程

(3a)

(3b)

(3c)

我们用数值方法解决了方程式（3a）^–（3c）,这个方法是从改进的平方算子方法[ 32 ]发展而来的。

孤子的功率定义为。我们研究了与横向功率流密度[ 2 ]相关参数

为了检查孤子的稳定性，将它们扰动为[ 15 ]：

（4）

其中F ，G ≪1和上标^“*^”是复共轭。将（4）代入等式。（1）线性化，我们可以得到特征值方程

(5a)

(5b)

其中:

,

,

方程（5a）和（5b）可以通过数值求解。如果delta;的实部大于零[Redelta;gt; 0] ，则孤子是线性不稳定的；否则，它是线性稳定的。

1. 数值结果

图1（a）显示了 和的能带结构 。我们计算了半无限差距mu;ge; -2 .91 ，并且所述第一间隙为-7 .48le;mu;le; - 3.0 。首先，我们探讨了散焦非局域非线性中的多峰孤子（sigma; = - 1 ）。在这种情况下，孤子可以存在于第一个间隙中。图1（b）和1（c）分别是d为d=0.5和d = 3时基本和多峰孤子的功率图 。 。图1（d）和1（g）为分别在d=0.5[图1（b）中A点]和d=3[图1（c）中F点]时，mu;=-3.35的三个驼峰孤子的轮廓（实线为实部，虚线为虚部）。非线性对折射率的影响的形状也表现出三个驼峰，如图所示。

图1.（a）是能带结构。（b）和（c）分别为d=0.5和 d=3时单峰，三峰和七峰孤子的功率图（阴影区域是Bloch带，实线表示稳定情况，虚线表示不稳定情况）（d），（e）和（f）分别显示了sigma; = - 1 ， mu;= - 3.35和d=0 . 5的 孤子轮廓（实线是实部，虚线是虚部），折射率分布和孤子的横向功率流。（G），（h）和（i）分别是sigma;=-1 ，mu;=-3.35 ，d=3的孤子分布，折射率分布的形状，和孤子的横向功率流。V ₀ =10和 W ₀ =0 .1 。

如图1（e）到1（h）所示。图1（f）和1（i）是两个孤子的横向功率流。横向功率流是由这些孤子的非平凡相结构引起的[ 2 ]。对于这两种情况，功率的方向从增益流向损耗区域在整个晶格[ 2 ]上是变化的。

对于mu; =-3.35 ，当d=0.5和d=3时，三个驼峰孤子的非平凡相位（Phi;）结构如图所示。

如图分别参见图2（b）和2（d）。图2（a）和2（c）是相应的振幅（）分布。

两个孤子的强度的分布如图所示，分别为图3（a）和3（d）。两个扰动孤子的相应稳定传播（向孤子中添加5％的随机噪声）如图所示，分别为3（c）和3（f）所示。通过计算公式 （5a）和（5b），我们得到如图3和4所示的线性稳定性谱。分别参见图3（b）和3（e）。他们表明这两个孤子是稳定的。

当d = 3 ，中间隆起的强度小于所述边缘[图 3（d）]。在横向功率流的分布中也发生了类似的结果[图1（i）]。

当mu; =- 4.3 时,对于d = 0 .5 （如图1（b）中的B点）所示，孤子可以是稳定的。扰动孤子的稳定传播如图4（c）所示。但是对于d = 3 [图1（c）中的H点]，孤子是不稳定的。在图4（f）中表现出不稳定的传播。孤子的线性稳定性谱也证明了这种不稳定性，如图4（e）所示。非局域性度d的增加改变了非线性效应，导致衍射与非线性之间的平衡破裂，孤子变得不稳定。

图2.（a）和（c）分别显示了d=0.5和 d=3时三峰孤子的振幅分布。（b）和（d）是它们的相结构。sigma; = - 1和 mu;= -3 .35。

对于三驼峰孤子来说，当mu;= - 4时 ，稳定阈值d ^th为0.92，当d＞ d ^th时，孤子将不稳定。对于不同的传播常数mu; ，d ^th的值是不同的。

对于的不同值，随着非局域度d的增加，孤子也会变得不稳定。对于，当mu;= - 4.05时d = 0.5时摄动孤子的稳定传播显示在图 5（c）中。图5（f）示出了当d =3时的不稳定传播。

图3.（a）和（d）分别为d=0.5和 d=3的三峰孤子的振幅分布。（b）和（e）是两个孤子的线性稳定性光谱。（c）和（f）是两个扰动孤子相应的稳定传播。sigma;= - 1和 mu; = -3. 35 。

图4.（a），（b）,（c）分别显示了d=0.5的三峰孤子的强度分布，线性稳定性光谱以及扰动孤子的稳定传播。（d），（e），（f）分别是d=3的三峰孤子的强度分布形状，线性稳定性光谱和扰动孤子的不稳定传播。sigma; =1和 mu; =4.3 。

图5.分别研究了d=0.5,d=3两个孤子的轮廓（a）和（d），强度分布（b）和（e）以及的两个扰动孤子的传播（c）和（f）。 sigma; = - 1 ，mu;= - 4 .05和W ₀ =0 . 2 。

图6.（a）三峰孤子的轮廓。（b）强度分布。（c）线性稳定性谱。（d）扰动孤子的不稳定传播。sigma; =-1 ，mu; =- 7 .0和d=0 . 5 。

对于d = 0.5,如图所示，减小传播常数，孤子也将不稳定。对于mu;=- 7 .0 [图1（b）中的点C ]，孤子的轮廓在图6（a）中示出。图6（d）是扰动孤子的不稳定传播。

七峰孤子也可以保持稳定。图7（c）和7（f）显示了对于mu;= - 3.35的两个扰动的七峰孤子的稳定传播 ，分别为d = 0时（图1（b）中的点D ）和d = 3 （图1（c）中的点G ）。从图7（d）可以看出，当d = 3时，中峰的强度也小于边缘。

对于七驼峰孤子当mu;= - 4.3 ，如果增加非定域度d

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