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1. ：Minuit参数误差的推论

通常情况下，Minuit得到的最小化问题的是简单解，但产生的不确定性参数的计算和推演要复杂得多。本章节的目的是解决参数误差确定中常见的难点。在其中可能有一些与拟合程序相关的问题，在此以Minuit的专业术语讨论之。

误差产生的最常见原因可以分为以下三类：

（1）对用户提供的卡方或似然函数的规范化以及相应的误差定义。

（2）在制定问题时的非线性因素而导致的由不同方法计算造成的误差不同，例如MIGRAD、黑塞和米诺斯。

（3）对多参数误差的定义和解释。

所有这些主要因素在附录提供的Eadie[5]文献中进行细节讨论。

7.1函数正常化和误差定义

为使用户定义的函数值完全通用，用户可以定义一个内部已知的标准化因子作为UP值，这个因子被用户定义在误差定义命令卡上。默认值是1。Minuit误差被定义为使函数改变值等于UP值的参数改变量。这是最常见的定义误差的方式，虽然在统计学中它有更常见的定义，如X²函数的二阶导数相对于参数的问题。在最简单的线性情况下（当函数为正抛物线且在最小值），UP= 1的值对应于定义误差为二阶导数在最小值的逆。事实上，虽然Minuit根据函数自身变化来定义误差，但并不意味着它只能计算这样一个函数变化。有时它也计算二阶导数矩阵与转换，例如一个抛物运动。其中的区别在7.2节讨论。

通过定义误差函数变化的目的有三个：

（1）在非抛物的情况下保持其意义不变（见7.2节）；

（2）一般地允许在用户定义函数不是卡方或似然函数；

（3）允许计算的范围不再是“一个标准差”的误差，而可以计算两个或两个以上的标准偏差，甚至更普遍的置信区域，特别是在多参数的情况下（见7.3节）。

7.1.1卡方函数的归一化

如果用户定义函数值F是一个卡方函数，那么它就有必要归一化。也就是说，观察上，“权重”实际上必须对应于一个标准偏离误差。卡方x的最常用表达式形式(见 [5], p.163):

其中x是观测向量，y（a）是向量的拟合值（或它们的理论表达式）包含变量拟合参数a，V是观测值x的误差矩阵的逆，也被称为观测值的协方差矩阵。幸运的是，在大多数实际情况下，观测值x在统计上是相互独立的（如柱状图的内容，或测量轨迹上的点），所以矩阵V仅仅是对角矩阵。X²的表达则简化为更熟悉的形式：

e²是V的对角元素的逆，对应于在观察值x上的误差平方。在加权直方图中，x为整数的情况下，e²刚好等于x（或y，见[ 5 ]，pp.170-171）。

在1/e²被称为权重时，上述x²的最小化有时也被称为加权最小二乘法。这显然是对同一事物的不同的用词，但实际上使用这些词语有时意味着e²的变化或均方误差的演绎并不简单。权重这个词的往往意味着它只是已知的相对权重（“点二是点一的两倍重要”），在这种情况下，显然存在一个未知的整体归一化因子。不幸的是，这样的拟合出来的参数误差将与这个因子成比例，用户在制定问题时必须意识到这一点。

e²也可能是函数的拟合参数（见[ 5 ]，p.170-171）。通常情况下，因为它通常会增加拟合的非线性，这会导致拟合的收敛速度较慢。（在最简单的情况下，它把一个线性问题变成一个非线性问题）然而，这对拟合参数值和误差的影响不大。

如果用户的卡方函数是正确的归一化的，他应该令UP= 1（默认值），以在参数之间获得一个标准偏移误差。因为参数是影响二次方，需要获得两个标准差。对于涉及多个参数的一般置信区域，请参见第7.2节。

7.1.2似然函数归一化

如果用户函数是一个负对数似然函数，那么它必须再次被归一化，但是它的原因以及将要面临的问题和卡方情况完全不同。似然函数的形式（见[ 5 ]，第155页）：

其中每个x表示一般的观测向量，a是拟合的自由参数，函数F表示要拟合的假设。这个函数F必须被规范化：

也就是说，在所有的观测空间x的积分必须是独立的拟合参数a.未归一化的F函数的结果通常导致拟合发散，一些参数溢出到无穷大。奇怪的是，归一化常数的值并不影响拟合参数值或误差，事实上，对数使乘法的常数变成一个加法，它简单地改变整个对数似然曲线并作用于它的值，而不是拟合的参数值或误差。事实上，似然函数在最小值上的真实值完全没有意义（不像卡方函数的值），而且取决于观测空间x的表现方式的单位。它真正有意义的量是在对数似然函数参数空间中的两点的无量纲差值。

对于似然函数拟合，它的UP=0.5对应于一个标准偏差的误差。或者说，F函数可能被定义为-2log（似然函数），在这种情况下F函数与卡方函数的情况有相同意义并且UP=1是合适的。在Minuit中，以上两种不同的引进2因子的方法是完全等效的，另外，虽然大多数人使用UP=0.5，但更合乎逻辑的是把2因子直接进入函数中。

7.2非线性情况：MIGRAD、HESSE、MINOS

在统计理论中，可以证明，在渐近极限下，确定参数误差的几种方法都是等价的，并给出相同的结果。在此我们暂时称这些方法叫作MIGRAD, HESSE, and MINOS（SIMPLEX是一种特殊情况）。在一下的情况下，这些方法将精确产生的相同的误差：

（1）要拟合的模型（y或f）恰好是拟合参数a的线性函数，或

（2）观测资料的量是无限的。

它可能发生在（1）被满足的情况下，在这种情况下你完全不需要Minuit，而可以做出一个更小更简单更快的程序，因为一个线性问题可以在不用迭代的范式下直接解决。CERN图书馆程序LSQQR就是很好的例子。然而，使用Minuit可能会更方便。因为非线性项在需要时可以在之后再被加入，从而避免被这种方法造成不必要改变。条件（2）自然是不可能满足的，当然实际况下常常会有足够的数据使问题变得“准线性”。因为有这么多的数据，允许的参数的范围内的单个数据变得非常小，使得一些物理函数在很小的区域中做线性行为。一下的部分阐述这几种Minuit给出的参数误差的不同。

7.2.1 Minuit产生的误差

Minuit在任何给定阶段产生的误差代表了在该阶段可用的最佳对称误差估计，但这个误差可能并不尽如人意。例如，输入第一个记录到FCN中时，给出了用户的步长，这些可能与参数误差完全没有相似之处，虽然他们应该是数量级的估计。在诸如SEEK或SIMPLEX的粗略最小化之后，可以给出修正的误差估计，但是这也仅仅意味着是阶次或幅度估计，并且必然不被认为是物理结果。 这样的数字主要用于Minuit的内部使用，Minuit必须为以后的最小化和导数计算假定步长，并且使用这些“误差”作为基础经验修改的第一估计。

7.2.2 MIGRAD（或MINIMIZE）产生的误差

当前在MIGRAD中实现的最小化技术是Davidon-Fletcher-Powell可变度量算法的稳定变化（“切换”方法）。 该算法在收敛到函数最小值时收敛到正确的误差矩阵。

该算法在每个步骤需要误差矩阵的“工作近似”，以及在当前最佳点处的梯度向量的相当好的近似。 可以以不同的方式获得对误差矩阵的初始近似，这取决于在MIGRAD被调用之前的误差矩阵的状态以及STRATEGY的值。 通常发现更好的是在起始点仔细地计算误差矩阵，以避免过早收敛，但是原则上甚至可以将单位矩阵用作起始近似。 通常Minuit默认是通过计算所有二阶导数和反转矩阵计算完整误差矩阵。 如果用户想确保这样做，他可以在MIGRAD之前调用HESSE。

如果采用单位矩阵开始，则第一步将处于最陡的下降方向，这并不坏，但是需要判断收敛的EDM的估计将很差。 在每个连续步骤，从梯度变化收集的信息用于改进对误差矩阵的近似，而不需要计算任何二阶导数或反转任何矩阵。 用于该更新的算法被认为是已知最好的，但是如果存在许多高度相关的参数，则在误差矩阵的非对角元素接近正确值之前可能需要许多步骤。 实际上，MIGRAD通常产生对误差矩阵的良好估计，但是它不是绝对可靠的，原因有两个：

1. 对于MIGRAD，收敛到最小可能发生“太快”以具有对误差矩阵的良好估计。 在最公然的这种情况下，MIGRAD实现这一点并且自动地引入对HESSE的额外调用（如下所述），通知用户正重新计算协方差矩阵。 由于对于n个可变参数，在误差矩阵中存在n（n 1）= 2个元素，因此为了使MIGRAD误差矩阵计算可靠，来自MIGRAD的FCN调用的数量必须大于n²。
2. MIGRAD基于远离最小值计算的函数值收集关于误差矩阵的信息，并假设误差矩阵几乎是作为参数的函数的常数，如果问题几乎是线性的话。 如果问题是高度非线性的，则误差矩阵将强烈依赖于参数，MIGRAD将更慢地收敛，并且所得到的误差矩阵将最好地表示在MIGRAD遍历的参数空间中的轨迹的最后部分上的一些平均值 。

如果MIGRAD误差由于（1）错误，应在MIGRAD之后命令HESSE并给出正确的误差。 如果MIGRAD误差由于（2）错误，HESSE将有帮助，但只有在学术意义上，因为在这种情况下，误差矩阵不是整个部分，并且必须使用正确的误差计算MINOS。 作为一般规则，对参数误差非常感兴趣的任何人都应该在每个MIGRAD（或MINIMIZE）命令之后至少放置一个HESSE命令。

7.2.3 HESSE产生的误差

HESSE简单地通过有限差分计算完全二阶导数矩阵并将其反转。 因此，它计算在它被调用的时刻的误差矩阵。 如果误差矩阵不是正定的，则输出诊断讯号，并且尝试形成正定义近似。

对于任何真实的物理问题，误差矩阵必须在解（最小）时是正定的。 它可能远离最小值使之可能不是正的，但是包括MIGRAD算法的大多数算法需要正定“工作矩阵”。 由HESSE产生的误差矩阵用于计算Minuit输出作为参数误差的值，因此包含参数相关性的影响。

从由Minuit产生的相关系数可以看出二乘二相关系数，并且还输出了全局相关性（参见[5]，第23页）。 所有这些相关系数的绝对值必须小于一。 如果它们中的任何一个非常接近一个或负一，这表明有一个比可由这个模型确定的数据更多的自由参数的不适定问题。

7.2.3 MINOS产生的误差

MINOS被设计为在所有情况下计算正确的误差，特别是当存在如上所述的非线性时。 该方法背后的理论在附录[5]，第204-205页中描述（其中“非抛物线似然”当然应该读为“非抛物线对数似然”，其等价于“非抛物线卡方”）。

MINOS实际上遵循函数从最小值到找到它在哪里穿过函数值（最小值 UP），而不是使用最小值处的曲率，并假定抛物线形状。 这种方法不仅产生可能与HESSE不同的误差，而且通常也具有不同的正和负误差（不对称误差间隔）。 事实上，大多数物理问题的最常见的结果是（对称）HESSE误差在MINOS的正误差和负误差之间。 这三个数字之间的差异是问题（或者说它的公式）的非线性的一个量度。

在实践中，MINOS误差通常接近或稍大于从误差矩阵导出的误差，尽管在非常不良的行为（非常少的数据或不适当的模型）的情况下可能发生任何事情。 特别地，在MINOS中通常不是真的，两个标准偏差误差（UP = 4）和三个标准偏差误差（UP = 9）分别是一个标准偏差误差的两倍和三倍， 对于从误差矩阵（MIGRAD或HESSE）导出的误差，按定义为真。

7.3多参数误差

除了上述的困难之外，当存在多于一个的自由参数时，在解析误差时出现特殊类型的问题。 这些问题与上述问题相当独立，原则上更简单，虽然在实践中经常出现混乱。

7.3.1误差矩阵

误差矩阵，也称为协方差矩阵，是（对数似然或卡方函数）函数相对于其自由参数的二阶导数矩阵的逆，通常假设在最佳参数值（函数最小值） 。误差矩阵的对角线元素是各个参数误差的平方，包括与其他参数的相关性的影响。

误差矩阵的逆，二阶导数矩阵具有作为对角线元素的单独个参数的第二偏导数。 因此，这些对角元素不与任何其他参数耦合，但是当矩阵被反转时，逆的对角元素包含来自二阶导数矩阵的所有元素的贡献，这就是“相关来自哪里”。

虽然参数可以与另一个正或负相关，但是相关的效果总是增加其他参数的误差，即如果给定的自由参数突然变得正确地已知（固定），那么总是减小（或者， 至少不改变）其他参数上的误差。 为了定量地看到这种效果，可以使用以下过程从误差矩阵中“删除”一个参数，包括其对其它参数的影响：

（1）反演误差矩阵，得到二阶导数矩阵。

（2）删除与给定参数相对应的逆行和列。

（3）重新反转所得到的（较小的）矩阵。

该减小的误差矩阵将使其对角元素小于或等于原始误差矩阵中的对应元素，该差表示知道或不知道在步骤二中去除的参数的真实值的效果。 此过程正是由Minuit在执行FIX命令时执行的。 请注意，它不是可逆的，因为在删除中信息已丢失。 Minuit命令RESTORE和RELEASE因此导致误差矩阵被认为丢失，必须完全重新计算。

7.3.2 MINOS与几个自由参数

MINOS算法在本手册的第

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