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分数扩散的随机游走模拟

John W. Hanneken, B.N. Narahari Achar, David M. Vaught, Kristine L. Harrington

Physics Department, University of Memphis, Campus Box 526670, Memphis, TN 38152, USA

摘要：

传统的扩散,由一个方程描述的基本解决方案是一个高斯分布和线性二次矩特征的时候,可以通过一个模拟的随机漫步。反常扩散,表现出非线性二次矩,可能被描述由扩散方程可以模拟部分时间导数和连续时间随机漫步的等待时间密度分布与广义Mittag-Leffler函数。另一种方法是提出了基于高斯函数的分步扩散的模拟是任何函数扩张的基础。代表分数阶扩散方程的基本解截断高斯函数的线性组合,这将导致部分扩散的模拟一组随机漫步。

关键词：随机游走；分数扩散；反常扩散；模拟

1. 引言

传统一维扩散方程及相应的通解：

（1a）

（1b）

其中可测量，单位，为扩散系数，单位。有方程（1a）所描述的扩散可以表示为x轴上以原点为起点的一维随机游走运动的模拟。每次随机行走不管是正向还是反向其步长都为,且扩散时间间隔也相等。在x轴上随机游走N步后的概率分布的二项分布在N很大的情况下，由高斯近似[1]给出：

（2）

是方程（1b）的基本解，高斯方程（2）的特点在于与平方的线性相关，即。众所周知，后者是中心极限定理的直接结果和马尔可夫链的性质的潜在的随机过程。与平方平均线性相关的扩散称为反常扩散。反常扩散,其特点是平均平方位移成正比的幂律关系。表示为，它是个极为庞大和多样化的系统[2-4]，并且根据指数的值分类，目前我们讨论的是的范围，称为扩散制。反常扩散通过时间分数扩散方程得到整数阶扩散方程的时间导数与非整数阶导数成功地模拟并给出方程：

（3）

为方程的基本解，由福克斯的的H方程给出

其中参考（3）中的分数阶数，的单位变为。相应的平方关系由代替，是反常扩散的特征函数。为了使粒子从原点开始，数值模拟设计模拟分数扩散必须解决方案兼容方程（4）.

一些作者已经讨论了模拟部分所描述的反常扩散扩散方程。随机走的支柱类梳状结构可以由分步扩散方程[6,7]描述。分数扩散也可以由某些类型的连续时间随机漫步,特别是那些等待时间密度分布与广义Mittag-Leffler[8]函数来模拟。此外,利用有限差分方案随机游走模型也被应用于模拟分数扩散[9]。下面描述的随机游走模型是有价值的,因为它提供了一种新的替代概念的角度将部分扩散意味着什么可视化。它将表明,分数扩散可以解释为乐团的随机行走的集体运动,本研究通过五个单独的集合体。每一次完整的随机游走都基于方程（2）给出的传统随机游走，有一个固定值。随机行走的数量在每个系综是不同的并且确定的方法已经阐述了。

1. 原理

函数f(x)可以表示为一组基函数的线性组合指定如果设置已经完成，其成员是线性无关的，跨越空间的函数。一维分数扩散方程的基础解（4），顶点在原点，并且随着x的绝对值增加而迅速减少。本文的目的是在函数空间内来适应这些特征。所有高斯函数满足完整性的要求，线性独立和跨度定义的空间，所以将作为基础。

提供了基函数是正交的，膨胀系数的一个给定的函数f(x)可以以简单的方式计算。与克施密特正交化过程,可以创建一组正交函数组线性无关的函数。然而,高斯函数集,虽然它是完整的和线性无关,不是一组正交。正交化方法可以实现使用基于重叠矩阵可分解成上、下三角矩阵的转置[10,11]。

下三角矩阵的逆操作的每个成员的基础上产生的集合基函数。函数f(x)可以表示为这些正交基函数的线性组合。

(5)

函数与分数扩散方程（4）的基本解相关。关于数值拟合，最开始为。因此方程（4）就可以被写为

1. 基本方程的选择

高斯函数的完整是一个无限集合。从实际考虑标准正交化,被选出的有限数量的高斯函数构成的基础。规范化的高斯函数选为基础设置为

图1.为且 。H方程，方程（4）和高斯近似方程（10）是不易察觉的,表现为一个实线。开放的圆圈表示数值模拟结果(见第7节)在选择x的值。

通过归一化，基本方程（8）由测试和错误的出的最佳解将在后面解释，下面给出一组标准的正交基函数

1. 数值拟合

出于计算方便，另外选择 。这些限制将被删除在随后的讨论部分基于缩放参数。就方程（9）而言，要扩展需要确定方程（6）中的线性系数。这些系数通过数值积分得到以下的近似结果[11]。

其中已经在（9）中给出。方程（4）的最佳数值拟合和（10）的近似，由卡方检验技术决定。在数百上千的可能的基本设置估计中，那些不到5成员贫乏卡方值这是六,七,八个或更多的成员。图一是（4）和（10）的比较。然而在这个规模数据下，两条曲线的值很稳合没有什么区别。扩大规模后，在峰值的偏差不超过。作为进一步的手段比较,甚至前三个时刻进行评估和结果列在表1(所有奇数的时刻都是零。

5.模拟

将（9）带入（10）中得到高斯函数的正交函数近似解，其中

。根据（2）中的每个不同的比值代表了随机游走中不同的的值。其中所对应的的值分别为1/2，1/8，2，1/80，5。代表随机行走的分数的行走步数。因此在总数为的随机行走，当时，能够在执行203466次的随机行走中被模拟出，同样的当时为54193次等等数据。最后得出，而不是通过基函数数值拟合出的1。

如果随机行走的步数相等，如，相应的203466次行走需要500步，54193次需要1250步，等等。在总时间间隔内分成5种随机行走的时间间隔。另外，如果所有的随机行走都有相同的时间间隔，那么5种随机行走的步数则不相同。两种解释都能与的值相符合。接下来，将解释在大量的基函数的极限中对应的连续时间间隔随机行走。

1. 任意的模拟

上述结果在 中的任意D和t都符合，同样也适用于任意的和。在（4）中的无量量纲是个相似变量。在时间调整为a，步长调整为的条件下也同样是相似变量。因此，分数扩散方程（4）的基本解有以下性质，保持不变。使用该性质，在中使用的数值模拟同样适用于任何情况的及其他因素也适用。例如，的模拟也可用于（时值b=16），提供的步长并且垂直尺度为。无论是轴变化还是尺度转换在图1中很容易被发现。

的拟合过程在（12）中产生系数也可以用于（4）部分扩散方程中的任意。保持，（12）中的由决定其中。做出和的图像拟合出四元方程

为了说明拟合的结果，图2显示了和拟合多项式与(13)给出的做比较。图3显示了其他因素的拟合值，与第5部分给出比较最大误差为0.05%。例如当时的误差小于0.008%。即，而。

1. 数值模拟的解释

考虑的部分扩散模拟，选择的随机行走步长为。

根据（13）通过5次随机行走模拟计算出。部分扩散模拟分别通过203478个粒子5000步，54191/1250步，512798/20000步，11570/125步，216775/50000步。一个随机数发生器是用来确定每个沃克的运动。图1显示了这样一个仿真的结果与解析解进行比较。

1. 结论

上述表明分数扩散可以看成是分部扩散的集合。每个随机行走都有其特定的参数，即总的步数和每步的步长。它表示上文5组随机运动为部分扩散提供了合适的方法。方程用于获得扩散的必要参数。扩散的参数赋予了t。随机行走为分数扩散的可视化提供了另一种概念。

参考资料：

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