教学实验室中对干涉和衍射的模拟

原文作者 L Maurer 单位 美国威斯康辛大学麦迪逊分校物理系

摘要：研究表明，标准课程和教学实验室实验对于干涉和衍射的教学效果不好。为此，作者编写了一个交互式的计算机程序。该程序可以应用时域有限差分法来对干涉和衍射效应进行模拟。该软件使得学生们能够轻松地控制、形象化和定量测量这些效应。学生们从作为实验室练习的一部分的模拟实验中收集数据。他们在随后的一系列小测验中的良好表现，对这种方法给予了肯定。

引言

通常，干涉和衍射的教学是这样进行的：首先在课堂上展示相应的数学，然后在教学实验室中用激光进行干涉和衍射实验。然而，研究表明这种教学方法有所欠缺。

考虑下列问题（见图1）。该问题对于理解了概念的学生而言应该是简单的。两个相距2.5个波长的点源发出相位相同的波，问在点A、点B、点C，是发生了干涉相长，干涉相消，还是两者都没有发生？

在华盛顿大学的一项研究中，研究人员就此问题及其他问题询问了大约1200名正在上以微积分为基础的物理导论性课程的本科生。只有约35%的学生对A、B两点回答正确，并且只有约5%的学生对C点回答正确。研究生的表现同样很差。只有约25%的人对C点回答正确。这些错误主要归咎于基本的误解。测验后的学生访谈包括诸如“我以为2.5（缝距）相对于400和300来说很小，所以这里两个源的作用相当于单个源”之类的回应。此外，一般的教学手段没有什么帮助。学生对C点的分数在上课和做实验前后基本没有改变。

产生该问题的部分原因在于光的波动性只能通过像干涉和衍射这样的现象被间接地观察到。波峰和波谷并非直接可见。观察和控制波的相互作用的动手操作经验有助于学生的理解，因此需要一种更好的波的传播介质。波纹槽提供了这点，但在使用的便利性、成本以及测量的精确度之间有个权衡利弊的问题。

例如，Wosilait等为学生提供了简单的波纹槽，其中包括平锅、暗榫和海绵。它们便宜而且容易使用，但是不允许定量的测量。不过，它们被证明是有效的。作为细致的辅导系统的一部分，它们把学生对C点的分数提高到了大约45%。

测量可以用波纹槽来进行。这是以增加成本和复杂性为代价的。测量需要一个频闪装置和一个持续的波源——不是让一个学生前后翻滚暗榫。频闪可以是一个闪光灯（容易但昂贵），或者是一个旋转开槽圆盘（便宜但复杂）。两者中的任何一种都可以使波看起来是静止的，从而使得测量更加容易。

计算机模拟同样可以显示波，并且它们相比于波纹槽还具有潜在的优点。模拟能够带来更好的控制和更精确的测量。它们不仅是免费的，而且可以在实验室外使用。它们还能够通过避免不想要的反射来得到更好的形象化效果，能够容易地被暂停，具有更优质的对比效果。

有许多模拟可用。一些模拟不展示波的相互作用，能够显示激光实验中所看到的现象。另一些模拟是非交互式的动画。某些有交互式的显示。有些可以测量瞬时波高或波场的强度。

这些模拟主要用于定性的理解。然而，我想要一个能够回答问题——比如前面提到过的那个——尽管是在一个更小的范围内的模拟，从而能够测试干涉条件。这就要求在任何用户想要的网格点上能够容易地测量振幅。但是，没有与此相关的具有交互式的、便于控制的、栩栩如生的波的模拟。

类似的模拟曾经被提议过，但是它们在教学实验室中的使用未曾被报道。Frances等人曾经提出运用时域有限差分（FDTD）电磁模拟来展示干涉和衍射效应，但是他们仅仅汇报了其在课堂演示中的使用。Werley等人同样建议在实验室中使用FDTD模拟，但是他们却代之使用了先前录制的实际辐射传播的视频。

因此，我编写了能够进行方便的精确测量的FDTD模拟程序。我还编制了不仅可以用于定性理解，还可以用于定量测量的应用模拟方法的实验室练习。

程序

FDTD技术通过将微分方程在空间和时间上离散化来求得它们的解。这种技术在模拟电磁学中广受欢迎，非常有效。在这种技术上有大量出色的工作。因此，相关的方程不在这里重述。这一节概括了这种模拟和与其使用相关的界面的各个方面。

图2展示了该程序的界面，其中有五张图。两张大图展示（上面那张图）和（下面那张图）。在这两张图中，黑色代表最小值，白色代表最大值，灰色的阴影代表中间值。三张较小的图展示和——的包络线——沿着穿过两张大图的水平和垂直虚线。这些线可以用键盘或鼠标进行移动。位于线的交点处的和的值被显示在介于垂直的两张图之间的右边中央区域中。该点处的值使用户能够把注意力集中到极值上。

一个波长为20个网格大小的平面波从左边进入。它不是被模拟，而是被解析地计算。在模拟刚开始的时候，波的大小被逐渐增大，以避免潜在的不稳定的高频成分。

其中的屏障——就是那条在两幅大图中都可见的红线——是一个很好的导体。屏障上的开孔是将刚接收到的波注入FDTD区域——屏障右边的区域的坚固的源头。通过界面右侧的屏障控制框架，这些屏障上的开孔可以被增加，被去除和被修改。

分裂场完全匹配层终止了FDTD域的另外三边。这些边界将反射减小到了难以察觉的程度，有效地为模拟带来了开放边界。

当模拟开始或屏障被调整，一个计时器出现在图上，开始倒数计时直到一个稳态被达到。然后，被重置以除去暂态，另一个倒计时出现在单波时段。通过取在那段时间上的平均值，计算得到稳态的值。

在众多其他特点中，这种模拟还有一个快进模式。快进模式可以通过不更新图片来节约时间。在这种模式下，模拟运行直到当前的倒计时完成。

实验室中的计算机用英特尔Core 2 Duo处理器运行Windows 7，每一个时间步长需要花费大约55毫秒，从而生成一个连续的动画。

该软件在Python写成，计算用了NumPy，界面用了TkInter，图像用了Python Imaging Library。这些程序库可用于Windows、OS X和Linux。可执行程序、源代码和程序信息都在网上可以找到。程序的源代码在GNU Public License version 2下可用。

模拟

实验室为特殊的班级定制，针对未来物理专业的学生，但将练习稍稍调整而用于其他课程应该是容易的。除了模拟之外，实验室还包括书面作业和短激光/狭缝实验。然而，四种模拟是实验室的核心——单狭缝、双狭缝和三狭缝，以及一个宽的单缝。

单狭缝

见图2。这项模拟提供了一条用来比较的底线。它表明单个的狭缝不是产生在接下来的模拟中看到的干涉图案的原因。

该课程的讲座包括对3D点源的数学描述，所以这项模拟向学生介绍了一些在实验室中使用的非对称源。为了使学生熟悉对该模拟的控制，我让他们粗略测量了从开口出发波幅随距离减小的速度。因为这是一项2D的模拟，振幅衰减慢于3D的情形。

双狭缝

见图3。这是一项关键的模拟。它让学生发现干涉相长和干涉相消的条件。学生被要求找出沿方向或沿方向且在区域右半边的的四个极大值点和四个极小值点，并且计算每个点处的，式中和分别表示极值点到两个开口的距离，然后找出那些数字之间规律。

原则上讲，学生们应该早就知道这些条件，但是似乎很多对他们来说都是新的。此外，大多数学生看起来好像是正在第一次理解这些条件。接下来的书面作业加强他们的理解。这包括画几张导致这些条件的波的图像（用[15,16]的简化版）和从数学上证明这些条件导致了波的同相或反相。

三狭缝

见图4。附加的狭缝使学生们仔细思考极值条件背后的逻辑。

这里，学生被要求找出在方向和方向同时达到极值的点。这用模拟来做是简单的。然而，由于这要求在方向和方向都有良好的操控，因此使用标准的实验装置来进行将会非常困难。

用于建立干涉相长的条件仍然成立。为了得到一个极大值，每一对狭缝产生的干涉都必须最大化。

然而，最小化条件更加复杂。双狭缝的条件导致两束波大致相消，但那将会使得第三束波无法消去。另外，使所有的距离差都是波长的半整数倍在数学上是不可能的。

这是一个在不用模拟方法进行定量测量的实验室中遗失的富有教益的例子。

宽单缝

见图5。区域的右侧接近于远场极限。该区域太小以至于无法显示远场效应。这是一个常见于许多波纹槽的局限。然而，该模拟成功地展现了波产生的衍射效应。该模拟可以用来研究一般的实验教学设备难以达成的近场效应。

外文文献出处： L Maurer. Simulating interference and diffraction in instructional laboratories [J]. Physics Education, 2013, 48(2): 227-232.

附外文文献原文

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