弹珠：使学生认知散射概念的方法

K M Bender， P S Westphal and R D Ramsier

教育学院，阿克伦城大学，阿克伦城，OH44325，美国

物理与化学系，阿克伦城大学，阿克伦城，OH44325，美国

摘要：本篇论文的创作目的是向学生介绍短程散射和长程散射的概念，并使他们学会使用间接测量和概率模型。本项研究使用了简单和便捷的现成设备，可以适用于中等教育水平的学生使用，以及用于大学级别的普通物理课程或教师培训项目。

引言

物理学家都非常熟悉alpha;粒子散射(卢瑟福的实验)，光散射(如：瑞利散射和米氏散射)，电子散射与金属的电阻之间的关系，声子散射及其与在半导体间接带隙中的激发态电子之间的关系。然而，所有这些自然界中重要的散射现象，在学生通常的实践活动的报告中，并没有作为一个话题来讨论。一些较旧的出版物中有关散射这个主题的例子来自博尔顿[1]，和李等[2]，而教育著作在散射这一领域最近的贡献可以在[3]和[4]。其中，桑托斯和弗罗利希曾使用的方法论和分析[3]是最简单、最容易被学生的。

最近，在培养未来的中学教师的一个被我们称之为“日常物理”探究式课程中，我们改编了罗宾逊和休伊特的“核弹珠”活动 [5]。我们这个活动，不仅包括通过低密度颗粒的短程散射，还包括通过高密度颗粒的长程散射。本课题的目标是让未来的教师通过活动学习物理学的概念，这样他们就能使用便宜和常见的工具使自己的学生也掌握物理概念。本文是一个系列的关于实验室活动的报告，以此来满足物理教育读者的一些标准[6-11]。在这里，我们提出我们的方法和一个散射实验的代表性结论，这个可以作为一种资源提供给其他教师，使得他们在教学生时具有更丰富的科学背景。

短程散射——玻璃珠散射实验

罗宾逊和休伊特[5]在一个实验中，引导学生间接测量玻璃球的直径来建立短程散射模型。学生在随机地在一个开口的少了一边的矩形盒子中放置了几个弹珠 (如图1所示)。在我们的实验中，我们使用米尺作为盒子的两边，用一个抽屉作为盒子的背面。这个盒子开放的那一边有几个大小相同的槽。在盒子边缘选择一个随意的凹槽，使玻璃弹珠从凹槽出发朝盒子背部滚动。如果这个滚动的玻璃珠击中一个在盒子中静止的(目标)玻璃珠，这次实验是算作一次碰撞。碰撞的实际概率(Pa)等于碰撞次数(H)除以实验次数(T):

P_a= H/ T （1）

图1. 玻璃珠散射实验的实验仪器

在这个最简单的模型中，我们可以在弹珠大小、静止弹珠的数量和盒子背面的宽度的基础上来计算预期的概率(P_e)。我们必须考虑在实际操作中滚动的玻璃珠不能看做成一个质点，因为它拥有自己的直径。当碰撞发生在任意有重叠的两个弹珠上时，就有有效地增加碰撞的概率。发生这种情况时，静止的玻璃珠的中心与滚动的玻璃珠的中心的距离等于它们的半径之和。

因为我们选用的滚动的玻璃珠和静止的玻璃珠是相同的大小，所以他们的半径之和等于玻璃珠的直径，如图2所示，我们可以看到碰撞发生时，两颗玻璃珠的中心距离是在珠子的直径内的。因为滚动的玻璃珠可能会撞击静止玻璃珠中心的任意两边，所以滚动玻璃珠的中心必须在距离静止玻璃珠中心的两个直径范围内。因此，预期的概率取决于直径的两倍(2D)。增加静止玻璃珠的数量必须使这个因子乘以在盒子里的玻璃珠的数量（N）。预期的碰撞概率(Pe)可以由那么这个值除以盒子背面的宽度（L）来确定:

P_e= 2ND/L （2）

图2.滚动的玻璃珠的中心在两个静止玻璃珠的两侧，这也很好的解释了预期概率与2D之间的关系

注意，这个方程可以通过维度分析来实现，除了两个因素的干扰。将上面的两个表达式进行联立，这样就可以用一个间接的方式来求得直径(即学生不直接测量玻璃珠的大小，但是从模型中获得直径的大小):

D = L H/2NT. （3）

只要弹珠在箱子里的数量很小，即低密度的“目标”，这个实验就会非常成功。实际上，这是一个一维模型，没有考虑到事实上一些静止的玻璃珠将驻留至少一部分后面即另一个阴影部分。因此，随着N变得很大，这个模型的碰撞概率将会增大。这很容易在方程(2)可以看出，因为与固定D和L参数，一个足够大的N将导致预期的概率超过一个值，而这是没有物理意义的。注意，这个模型的极限情况是当N = Nmax，这样

P_e= 2N_max D/L = 1, （4）

或者，换句话说，

N_max = L/2D. （5）

我们在本文的第一部分论证系统如何表现低和高目标密度与小直径玻璃弹珠的关系，然后进一步扩展活动即“探究磁弹珠和长程散射的概念”的实验。

实验方法

休伊特和罗宾逊用类似的方法描述玻璃珠实验[5]。实验中所用的盒子大小尺寸是宽为53厘米，长为55厘米。开口的盒子被分为12个相等的部分(例如1-左，1 -右， 2-左， 2-右，等等)，一个六面骰子和一个两面的美国扑克牌筹码(分别在左边和右边贴上标签)，通过投掷骰子和抛筹码来确定滚动玻璃珠的位置。这增加了一些日常现实的概率性质的活动。六十次试验，使用N值来表示实验次数，如1 - 8、10、12、14、16、18、20、22、25，30和35。

结果与讨论

我们将关于玻璃珠实验的一个完整的结果绘制在了图3中。基于方程(2)我们由开放的圆得到了拟合曲线，而实际概率值(封闭的圆圈)却是从方程(1)中所获得的。正如预期的那样，随着静止弹珠的数量增加，小颗粒模型的实验开始失败，实际概率也开始向渐近线接近。在SigmaPlot软件里使用合适的程序，我们拟合了一条双参数的线性线表现预测的可能性，获得了双参数指数上升到最大值函数的实际数据。

图3.玻璃弹珠的散射实验结果。

表1.关于玻璃弹珠实验的参数计算和拟合情况表

表1向我们提供了实验数据的拟合结果。从线性方程中我们可以看出，一如从方程(2)预期的那样，y₀几乎为零。同样的，从方程(5)中我们可以得到线性方程的斜率是m = 2 D / L = 1 / N_max。当然，R²线性拟合的值为1.0，基本上没有出现标准错误。通过斜率，我们可以出计算弹珠的直径，在这种情况下小颗粒模型的玻璃弹珠的计算直径为1.56厘米。而玻璃弹珠的直径用尺子直接测量的结果约为1.35厘米。

在表1中我们可以看到，当极限情况下Ngt;gt;Nmax，参数a的值会越来越接近1。我们选择一个有物理意义的参数b， b = 2 D / L = 1 / Nmax，从中我们可以计算的另一个估计另一个玻璃珠的直径，对于大颗粒模型计算结果直径为1.79厘米。在这种情况下注意的即质量指数的吻合，又考虑到许多变量参数，因此这个实验会可以得到弹珠直径大小的估计值。然而，两个模型都高估了实际物理弹珠的直径。最后，注意阴影部分的效果和b参数，这都取决于盒的深度和宽度，但这进一步复杂化的分析，是我们现在没有必要的进行探究的。

长程散射——磁性球实验

我们将这个实验做一个进一步变化。在实验时我们使用内置永久磁体的塑料球，而不是用玻璃珠。当一个磁性弹珠滚入放有磁性弹珠的盒子时，碰撞不仅仅发生在滚动弹珠与盒子中的一颗静止弹珠发生物理碰撞之时，而且由于磁的相互作用，引起了静止弹珠的移动和旋转。因此这个实验没有参数用来估计弹珠本身的直径。相反地，它可以计算出磁性弹珠的有效直径范围（影响参数或散射截面计算）。这是实验，能够很好地来展现长程散射现象，给学生留下更深的印象。

数据所示，使用了15个磁弹珠和一个106厘米宽55厘米深度的盒子。所使用的盒子需要比玻璃弹珠实验时更加宽一点，这样可以让磁散射更好地发生。磁弹珠都标有一个圆形条纹来协助识别任何磁场干扰或“打击”——尤为重要的是目标弹珠由于滚动弹珠的经过而旋转时。实验分别使用了1 - 8、10、12、14个弹珠，共90次实验。

我们在图4和表2中展示了数据和分析，使用的步骤与玻璃珠实验相同。请注意，在这种情况下，小颗粒模型的实际概率始终是超过实际散射事件的预期，从高密度模型获得了弹珠的有效直径为9.20厘米和8.34厘米。为了了解磁性弹珠的有效直径的预期量级并进行比较，进行了以下的实验。

图4.磁弹珠的散射结果。拟合模型的细节和参数在文本和表2。

表2.磁弹珠的参数拟合和计算。

一颗弹珠被放置在一个标志线上，而另一个是慢慢地向它靠近，直到我们发现有磁相互作用的迹象；然后我们记录了距离并重复了这个实验多次。要注意的是这里的塑料弹珠(打开后检查)实际上包含了一个小圆柱磁体，我们做这个实验时的滚动的磁性弹珠的磁体平行或垂直于静止的磁性弹珠。这个平行模型相互作用的范围估计值为5.9厘米，而垂直模型的范围值约为9.2厘米。这些数据(代表随机取磁性弹珠在盒子里的散射实验)的平均值为7.6厘米，与高密度散射模型实验的结果符合得很好。

总结

总而言之，我们以之前罗宾逊和休伊特[5] 提出的活动为基础展示了一系列“核弹珠”拓展活动。首先，我们从低密度模型的短程散射（影响）到高密度的模型。然后，我们引入了一个变量，让学生能够研究磁弹珠在低密度和高密度的状态下的“远距作用”和长程散射。这组活动学生可以在多种情况下进行实验，线性模型最接近于分析时的数据，高密度模型适合于更高年级的学生。

外文文献出处：

K M Bender, P S Westphal, R D Ramsier. Marbles: a means of introducing students to scattering concepts [J]. Physics Education, 2008, 43(1): 95-99.

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