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摘 要

论文通过精确数值对角化(Exact Numerical Diagonalization Method) 研究一维无自旋的两格点Bose-Hubbard模型的纠缠性质。我们发现系统具有倾斜势时，Coherence具有准周期性，并且系统粒子数对准周期性具有不同影响。

关键词：Bose-Hubbard模型， Coherence，精确数值对角化

Abstract：We investigate the properties of the ground state for a one-dimension spinless two-site tilted Bose-Hubbard model by means of exact numerical diagonalization. We found that when the Bose-Hubbard model is affected by tilt, the coherence of the system shows quasi-periodicity. Additionally, the number of the system also affect the quasi-periodicity of the system.

Keywords：Bose-Hubbard model, Coherence, exact numerical diagonalization

1 引言

凝聚态物理研究的重要课题之一是强耦合体系，近年来由于光晶格技术的发展，科学家发现具有强相互作用的玻色体系有丰富的物理内涵，因此近年来在光晶格中研究已玻色体系成为凝聚态理论研究的一个重要课题。

Bose-Hubbard模型最初由Fisher等人于1989年提出 [1]，该模型讨论了零温时相互作用玻色系统在周期势或外部无规势中运动的相图和相变，描述了动能和势能之间竞争所导致的不同相及相变特性；利用该模型可进一步研究光晶格中玻色体系的各种相变行为[2]；并且已近有相当多的实验证实了光学晶格中的超流-绝缘相变[3]，使得该领域的研究获得广泛关注，因此近年来关于Bose-Hubbard模型的理论和实验研究有了很大进步。

在零温下，Bose系统具有丰富的动力学行为。没有外场作用时，系统具有superfluid相和Mott-Insulator相。而当体系受到无规势或周期性外部势作用时，系统由于具有短程排斥相互作用，因此展现出superfluid相、Mott-Insulator相及Bose-glass相(玻色玻璃相)的竞争。

Bose-Hubbard模型提供了对相互作用玻色体系的最简单描述，然而却深刻地揭示了相互作用体系的特征：能量之间的竞争导致丰富的物理机制；相互作用Bose体系的超流-Mott绝缘相变是引起粒子局域化的相互作用(及无规势)与使粒子非局域化的动能之间竞争的结果：当动能不足以克服跃迁所需要的势能(相互作用)时，玻色子趋向于定域化，从而形成绝缘相，反之，当动能远大于在位排斥相互作用，玻色子可以克服在位排斥作用并在格点之间自由跃迁，从而形成超流相。

通过数值对角化[4,5]、量子模特卡罗模拟[6]等方法，我们数值地研究Bose-Hubbard模型的性质，而研究Bose-Hubbard模型的解析方法主要有强耦合展开[7]，密度矩阵重整化群[8]，平均场理论(MFT) [9]等方法。

2 模型

2.1 Hamiltonian

考查束缚在左右对称势阱中的由N个质量为m的无自旋玻色子，玻色子由相向传播的激光束囚禁在光晶格中，两阱中粒子均处于最低束缚态。系统的Hamiltonian可以用有效两格点Bose-Hubbard模型描述[2,8,9]：

(1)

其中

(2)

其中是势阱中的产生湮灭算符，满足对易关系，是第j个势阱中的粒子数算符；U是势能项，Ugt;0表示粒子之间为排斥相互作用，Ult;0表示粒子之间为吸引相互作用；J表示动能项。

如果在两阱间加入外场，则可以使得光晶格发生“倾斜”(tilt)；具有倾斜势的系统Hamiltonian可以表示为：

(3)

其中

(4)

表示外场引入的倾斜势。对于我们所考虑的双势阱模型，可以表示为。

2.2 态

我们以N 1空间中的的Fock基来研究系统，其中

(5)

我们利用精确数值对角化方法来求解Hamiltonian(3)。对于哈密顿量的每个本征值，相应的本征失表示为：

(6)

3 计算

在有限量子体系中，量子涨落强烈影响系统的动力学行为，引发丰富的待研究问题，为了研究Bose-Hubbard模型的量子行为，我们用两模间的Coherence来表征系统性质。

在Fock基下系统初态表示为

|ψ(0)gt;=|N-k,kgt; (7)

t时刻系统演化为

|ψ(t)gt;==(t)|N-k,kgt; (8)

其中，

J=0,1,2,...N,

末态系数满足

== (9)

为了研究系统的Coherence，我们引进参数QE[10]：

QE=lt;gt;-|lt;gt;| (10)

根据Hillery-zubairy判据，当QElt;0时，两阱之间存在量子相干。

4 分析与讨论

我们首先根据精确数值对角化方法，将哈密顿量(3)在Fock空间对角化，获得能谱和能量本征函数，然后利用(9)式，进一步计算末态的Coherence。我们的分析结果如图(1-3)所示。

我们绘制了N=15及N=16时系统Coherence关于时间t的函数关系，由图1我们发现相较无tilt的B-H模型，有tilt的B-H模型显示出明显的准周期性。

图1. N=15及N=16时系统Coherence关于时间t的函数关系。

我们进一步绘制了N=100及N=101时系统Coherence关于时间的函数关系，我们发现N为奇数或偶数时，系统Coherence的时间的函数关系明显不同，即系统显示出明显的奇偶效应，如图2所示。

图2. N=100，101时Coherence的时间演化。

我们绘制了N=10,30,60,100时系统Coherence关于时间t的函数关系，我们发现准周期性是系统的普遍性质，如图3所示。

图3. N=10,30,60,100时Coherence的时间演化。

结 论

论文通过精确数值对角化(Exact Numerical Diagonalization Method) 研究一维无自旋的两格点Bose-Hubbard模型的纠缠性质。我们发现系统具有倾斜势时，Coherence具有准周期性，并且系统粒子数对准周期性具有不同影响。

参 考 文 献

[1] Boson localization and the superfluid-insulator transition[J]，Matthew P. A. Fisher, Peter B. Weichman, G. Grinstein, and Daniel S. Fisher. Phys. Rev. B 40, 546 (1989)

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