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摘 要

： 谐振子是量子力学中非常重要且很典型的问题。我们在量子力学教材中看到求解谐振子问题，通常是在坐标表象中解定态薛定谔方程，这种求解方法十分复杂且其求解过程很长。与前面的方法不同，用阶梯算符代数方法解谐振子能量的本征值和本征矢不仅突出了基本的物理思想,而且避免了复杂的数学运算。此外，本文又借用平移算符解出了谐振子的相干态并探索出了相干态的最小不确定性，过完备性，相干态中粒子数的涨落和相干态的相位特性。

关 键 词：谐振子,相干态,阶梯算符,平移算符

Abstract: Harmonic oscillator is a very important problem in quantum mechanics. Usually in the quantum mechanics teaching material, the problem of linear harmonic oscillator is always used to solve the deterministic schrodinger equation in the coordinate representation, and the solution is very complicated and the process is very long . In this paper, the eigenvalue and eigenvector of the harmonic oscillator energy are solved by the step operator, and the basic physical ideas are emphasized, and the complicated mathematics is avoided. Besides, the harmonic oscillator coherent state is solved by the translational operator and the coherent state, the minimum uncertainty, completeness, fluctuation of the number of particles in the coherent state and phase characteristic of coherent state are explored.

Keywords: harmonic oscillator, coherent states, ladder operator, translation operator

目 录

1 引言.....................................................4

2 利用阶梯算符求解谐振子能量问题...........................4

3 谐振子相干态.............................................8

3.1 谐振子相干态的定义.....................................8

3.2 用平移算符求谐振子的相干态............................10

3.3 谐振子相干态的性质....................................11

3.3.1 相干态作为表象的基矢是过完备的......................11

3.3.2 具有最小的不确定性..................................12

3.3.3 相干态的粒子数涨落..................................13

3.3.4 相干态的相位特性....................................13

结束语....................................................15

参 考 文 献...............................................16

致 谢....................................................17

1 引言

一维谐振子在经典力学中具有十分基本的地位。在量子力学中,一维量子谐振子更加常见。因为它不但理想化地概括了微观粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动等一类常见问题，还是场量子化的基础。

量子体系的本征值问题，尤其能量本征值问题的求解，通常用分析解法，也就是在一定的边条件下求解坐标表象中的微分方程。但是采用在坐标表象中解定态薛定谔方程的方法来解决谐振子的问题十分复杂而且冗长。而且近年来，代数解法被广泛用在物理学各前沿领域来处理本征值问题，它也是处理许多问题的基础（例如分子、晶格、原子核的振动等）^[1]。

本文用阶梯算符代数方法来解谐振子能量的本征值和本征矢，十分简单易懂。

用阶梯算符求解力学量的本征值问题优势在于：常常不需要具体解微分方程,这就使得求解过程变得特别的简洁。阶梯算符解法的主要思想是：将二阶变系数微分方程本征值问题转化为升(或降)算符作用于“基态”本征函数上结果为0,导出对应的一阶微分方程B(λ)(ξ)=0 的问题 ,一阶方程求解十分简单，其激发态也可方便得出^[2]。

1926年，薛定谔最早提出了相干态的物理概念,他指出要在一个给定位势下找某个量子力学态, 在该状态，坐标算符的平均值的形式和经典解有相同。即求最接近经典物理的量子态。Glauber等人直到六十年代才系统地建立起谐振子相干态,证明了它是谐振子湮灭算符的本征态。因为相干态有它的固有特点,例如它是一个量子力学态,而又最接近于经典情况,因此人们对于相干态理论的研究与应用的兴趣日益增浓,对相干态概念的推广作了多种尝试,例如费米子相干态等概念,相干态的应用范围也不断扩大, 已经成为量子力学的重要部分。在其他学科, 例如生物医学、化学物理，相干态的应用解决了长期困扰人们的大量问题^[3]。时隔40多年后，Ｒoy J． Glauber 因此项工作获得2005年度的诺贝尔物理学奖^[4]。在本文中，借用平移算符求解出谐振子的相干态，并对其性质进行讨论。

2 利用阶梯算符求解谐振子能量问题

一维谐振子的薛定谔方程以更具有启发性的形式写成

（2.1）

其中 是动量算符。求解的基本思想是分解哈密顿算符

（2.2）

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