论文总字数：7098字

摘 要

陀螺旋转时可以绕自身轴线自转，同时还可以绕垂直轴线进动，旋转过程中始终有一固定点，所以陀螺运动是定点运动。由于旋转轴在空间取向任意变化，使得这种定点运动比较复杂。本论文用三种方法来分析拉格朗日陀螺的运动规律。第一种方法采用牛顿力学中欧拉动力学和运动学方程相结合分析问题。第二种方法采用分析力学中建立拉格朗日方程求解。第三种方法采用分析力学中建立哈密顿正则方程求解。牛顿力学的方法容易理解，但因为要求解二阶微分方程，求解过程比较麻烦。分析力学的方法很容易找到循环坐标得到守恒量，哈密顿正则方程相对于拉格朗日方法似乎更加复杂些，但重要的是用广义坐标和广义动量表示的哈密顿量即能量具有非常广泛的物理内涵。最后我们对于陀螺运动轨迹，关于轴的空间取向进动角取值范围和章动角的变化轨迹作了讨论。

关键词：陀螺运动，分析力学，拉格朗日方程，正则方程

Abstract: When gyro is rotating, it is a fixed-point movement, not only revolving around its axis, but also conical around a vertical axis. Because of the change of the axis in space, the fixed-point motion is more complicated. In this paper, the motion law of Lagrange gyroscope is analyzed by three methods. The first method combines the Euler dynamics and kinematics equations in Newton"s mechanics to analyze the problem. The second method is to establish Lagrange equation in analytical mechanics. The third method is to establish Hamiltonian canonical equations in analytical mechanics. The Newton mechanics method is easy to understand, but because of the requirement of solving the two order differential equation, the solving process is rather troublesome. The method of analyzing mechanics is easy to find the conservation of cyclic coordinates. The Hamiltonian regular equation seems to be more complex than the Lagrange method, but it is important that the Hamiltonian of the generalized coordinate and the generalized momentum, that is, the energy has a very extensive physical connotation. Finally, we discuss the gyroscope trajectory, the range of the precession angle and the nutation angle of the axis.

Keyword：gyratory motion, analytical mechanics, Lagrange equation, Hamilton canonical equation.

目录

1.引言 4

2．欧拉动力学方程分析拉格朗日陀螺运动 4

2.1欧拉运动学方程 4

2.2欧拉动力学方程 5

2.3拉格朗日陀螺运动分析 6

3．拉格朗日方程分析拉格朗日陀螺运动 7

4．哈密顿正则方程分析拉格朗日陀螺运动 8

5．结果与讨论 10

结 论 13

参考文献 14

致 谢 15

1.引言

陀螺是绕一定点转动的刚体,由于它的高速转动可以克服重力矩而做稳定的旋转。对陀螺运动的研究可以追溯到两百多年前，以欧拉为代表的科学家首先建立了欧拉运动学和动力学方程组，从而分析它的运动规律。但实际上欧拉动力学方程的求解通常非常困难，所以只有在一些特殊情况下，才能求出解析解。到目前为止有三种类型的陀螺可以严格求解。第一种类型：固定点与重心相重合，刚体因为惯性而转动，这类陀螺称为欧拉陀螺；第二种类型：刚体的重心位于对称轴上，不与固定点重合，是一种对称陀螺，这种绕对称轴转动的陀螺称为拉格朗日陀螺；第三种类型：刚体的重心在惯量椭球的赤道平面上，也是一种对称陀螺，称为柯凡律夫斯卡雅情形的陀螺。

图1 陀螺的定点运动 图2 惯量椭球

现代陀螺大多数是从拉格朗日陀螺发展而成，所以拉格朗日陀螺引起人们极大关注。陀螺在绕自身对称轴旋转时，由于惯性作用，使得转动轴方向可以保持不变，这种稳定性和在旋转时同时绕垂直轴的进动性被广泛地应用于航海，航空，地质勘探，自动化控制等各个领域。根据拉格朗日陀螺原理制成的陀螺仪可作为一个信号传感器，及时准备的提供旋转角速度，角加速度，当前所处位置，空间方位等等信号，根据这些信息可以实现自动化控制航天器等设备，也可对导弹，空间探测火箭等飞行器的飞行姿态、飞行轨道进行准确制导。此外根据它的稳定性制成稳定器，可以减少列车，船舶等交通工具在行驶过程中的摇摆。由此可见，深入地分析和理解拉格朗日陀螺运动的动力学原理具有非常重要的现实意义。

2．欧拉动力学方程分析拉格朗日陀螺运动

2.1欧拉运动学方程

对刚体的定点转动，需要三个独立变量，通常我们可选定点作为坐标原点，用二个角度来表示自身对称轴的空间取向，用另一个角度来表示刚体绕对称轴的旋转，这三个独立角度就称为欧拉角，如图3所示。借用天文学中的描述，其中，，分别称为进动角，自转角和章动角，角度的变化表现为绕轴转动的角速度。

则刚体绕通过定点的某一轴线转动的角速度可在随刚体一起运动的坐标系O-xyz上的投影，分别是,,，则

图3 欧拉角示意图

结合θ,φ,Ψ三个欧拉角在x，y，z轴上的各个分量，我们就得出用欧拉角及其对时间的微商来表示角速度沿坐标轴x,y,z三个分量的表达式：

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：7098字