伊辛模型以德国科学家伊辛(Ernst Ising)命名的描述物质结构变化的一种统计性模型。基于此模型，可以通过存在于任意晶格点上的粒子自旋变量(取值1或或1)的随机翻转引起的能量变化，模拟研究固体中分子磁矩铁磁性有序化、晶粒长大等问题。伊辛模型是描述物质相变的一种模型。物质经过相变，要出现新的结构和物性。发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。伊辛( Ising)模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型 ,它可以被用来帮助我们发现物理世界的原则。它不仅可以用来描述晶体的磁性, 还可以用来描述非常广泛的现象, 如合金中的有序无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通、蛋白质分子进入它们的活性形式的折叠等。它是描述相互作用的粒子(或自旋)最简单的模型。它可以用来测试研究相互作用的粒子在多体系统(特别是理解在临界点及其附近的合作现象和临界行为)任何近似方法的理想工具。

统计物理学通过对配分函数求导得系统的热力学函数，从而确定系统的全部平衡性质。从20世纪30年代中叶开始，经过半个世纪以来对统计模型的大量研究，已形成统计物理学的一个专门领域，建立了很多模型，伊辛模型就是其中的一个模型。经过数位科学家的研究和探讨，伊辛模型经过几十年的发展，有了很大的突破，现在，一维，二维伊辛模型理论已经比较成熟，科学家已经得他们在一些条件下的精确解，但是二维伊辛模型在其他一些条件下还有得到精确解，比如具有次紧邻相互作用的二维伊辛模型和磁场下的伊辛模型至今没有精确解，而且三维伊辛模型也没有得到精确解，还没有达到成熟的阶段，还处于探索和研究中。自从德国物理学家愣茨教授1920 年提出模型, 他的学生伊辛1925 年求出一维模型的解以来, 求解三维伊辛模型的精确解一直是人类追求的梦想。近90年来,人们探索自然奥秘的追梦之旅充满了艰辛, 一个不小心就会堕入万丈深渊。尽管在攀登的过程中有时会有一些意外的收获和惊喜,但至今顶峰之路仍然是艰辛遥远。得到二维伊辛模型的精确解表明人们已在追梦之旅中有了很大的收获,可是人们追求梦想的旅程只是站到一个新的起跑线,前面的旅途更加遥远艰险。在昂萨格求出二维长方伊辛模的精确解之时就意识到用他的方法不能直接推广到三维,用Kaufm an的求解过程也不可能直接求出三模型的精确解。

Ising 模型 广泛应用于统计物理、材料物理、凝聚态物理等领域, 它由德国物理学家伦兹(Lenz) 在20 世纪20 年代提出,可用来描述单轴各向异性磁性系统, 合金等物理体系. 1925 年,Ising 给出了其在一维情况下的严格解,证明了在一维情况下不存在相变,且在温度不为绝对零度的情况下都无自发磁化. 1936 年,佩尔斯论证了二维伊辛模型存在自发磁化;Onsager 在1944 年做出了零磁场下在二维空间的严格解并计算了它的相变温度, 研究了比热等物理量在相变点的行为. 杨振宁在1952 年给出了外磁场很小时二维Ising 模型的解析解。不管是一维还是二维系统都不是真实的物理系统,而是一个理想模型,只有三维系统才与实际物理系统相对应,因此研究三维Ising 模型更有意义. 一般认为三维Ising 模型没有解析解,只能采用近似方法. 随着计算机技术的发展,其在诸多领域中有重要应用,常被用作检验各种数值方法或解析近似方法的标准. Ising 模型许多变形(如Heisenberg 模型、磁性膜系统、一维亚铁磁混合自旋链等) 在诸多研究领域中有着实际的应用。

三维伊辛模型的蒙特卡罗模拟

1．伊辛模型是一个简单但很重要的物理模型，伊辛在1925 年解出的精确解表明一维伊辛模型中没有相变发生。二维伊辛模型的临界问题及精确解在40 年代由昂萨格严格求出。人们采用了分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论等多种方法计算三维伊辛模型的解，但至今没有被学术界公认的三维伊辛模型的精确解。

2．模型分析与计算

2.1 模型格点选取

2.2 模型边界条件分析

2.3 反转概率函数选取

2.4 具体计算步骤