摘 要

根据量子场论，微观粒子之间的相互作用源于交换某种媒介粒子，也就是说这种相互作用的势函数取决于这种媒介粒子在时空中的传播性质，如果外界环境发生了改变，那么这种媒介粒子的传播子将可能发生改变并由此影响粒子间的相互作用，所以求得过程中传播子形式是非常有必要的。

本文的目的在于想要探索求解磁场情况下带电带电介子的传播性质。首先我们将从基本场方程出发推导当有一外常磁场存在情况下的带电介子传播子形式及带电粒子的场函数，我们发现介子传播子的形式将由于磁场的存在变得十分复杂并失去了空间上的对称性，而带电费米子和玻色子的场函数将具有类似谐振子的形式。之后，我们将讨论一个简单的模型——汤川模型，并从三种不同的方法出发求解汤川势，最后我们尝试从路径积分的方法出发对磁场下交换带电介子的汤川势进行求解，但我们发现这个积分过程很难给出完美的解析解和数值结果。

关键词：量子场论，磁场，玻色传播子，介子，汤川理论。

Abstract

According to quantum field theory, the interaction process among the particles results from the exchange of certain media particles. In other words, the potential function of this interaction is based on the propagation property of this media particle in space-time. If the external environment changes, the propagator of this media particle will likely change and this change may affect the interaction among the particles in this way, so it’s very necessary to get the form of the propagator.

The aim of this article is to explore the propagating property of a chargedmeson in the magnetic field. Then we start from the basic field function to formulate both the propagator of the chargedmeson and the field function of charged particles when there exists an external permanent magnetic field. We find that due to the existence of the magnetic field, the form of the meson propagator will be very complicated and lose the spatial symmetry, and the field functions of the charged fermions and bosons will have a form which is similar to the harmonic oscillator. Then we will discuss a simple model of nuclear force - Yukawa theory, and formulate for the Yukawa potential in three different ways.Finally, we attempt to solve the Yukawa potential of exchanging chargedmesons with the magnetic field based on the path integral method, but we find that this integral process is difficult to give either perfect analytical solutions or numerical results.

Key Words: Quantum field theory, magnetic field, boson propagator, mesons, Yukawa theory.

目 录

第1章 绪论 1

1.1 量子场论的发展与困难 1

1.2 磁场中量子场论的工作 3

1.3 传播子 4

第2章 磁场中带电pi介子传播性质 5

2.1 磁场中带电粒子场函数 5

2.2 自由玻色传播子 8

2.3 磁场中带电pi介子传播子 9

第3章 核力模型与一般情况下汤川势的求解方法 12

3.1 核力 12

3.2 汤川理论及应用 13

3.3 汤川势 13

3.3.1 静电场方程 13

3.3.2 散射振幅方法 14

3.3.3 路径积分计算 17

3.4 小结 20

第4章 磁场中核力求解困难 22

4.1 求解分析 22

4.2 路径积分求解 22

4.3 结果分析 23

第5章 结论 24

参考文献 25

附录A 26

致谢 28

第1章 绪论

1.1 量子场论的发展与困难

随着历史的发展，人们对微观物理世界的认识从分子发展到原子、原子核，之后随着对粒子物理学的深入研究，实验所揭示的物理学现象也从低速现象向高速运动的微观粒子进行发展，量子场论就是在量子力学和相对论的基础上发展起来的，以用来描述高速运动的微观粒子现象和运动规律。

在上个世纪的20年代末期到30年代初期，狄拉克(Dirac)、魏格纳(Wigner)、海森堡(Heisenberg)、泡利(Pauli)等人在相对论和量子力学的基础上引入了微观粒子的量子场概念，这一概念是反映高速微观运动的概念，量子场是物质存在的一种形式，也可以用不同的量子场来描述不同种类的基本粒子，其中量子场的激发就代表着粒子的产生。相对地，量子场激发的消失就代表着粒子的湮灭，这样建立的简单的相互作用量子场理论可以描述原子的自发辐射和吸收现象也可以描述电子和光子的多种电磁相互作用现象。但这种理论也存在着问题：用量子电动力学来计算任何电磁相互作用的现象时，第一次近似的计算结果常和实验数据比较符合，但是当进一步做更高次的计算时所得到的结果总是无穷大的，这样的发散结果是毫无意义的，比如β衰变理论，有关介子、核子和超子场的理论都遭遇到了同样的困难，曾经有很多科学工作者尝试突破这一理论瓶颈，但最后都以失败告终。在1946-1949年期间，朝永振一郎(Tomonaga)、施温格(Schwinger)、费曼(Feynman)等人发展了一套可重整的微扰理论计算方法，这套方法奠定了量子电动力学(QED)的理论基础，这种方法的出现不但解决了量子电动力学计算中出现的发散困难，还提出了一整套按照电子电荷观测值的幂次展开的逐级近似计算方法。但是他们的方法只是暂时避开了上面所陈述的基本困难，而没有彻底克服这一困难，因此即使他们的理论从某种角度上避开了上述困难但并没有从根本上解决这一难题，这一困难只是以其他形式表现出来，而这一困难的新形式之后被戴逊(Dyson)和朗道(Landau)等人所指出，可以预计的是这一基本困难的克服将会伴随着基本物理理论的进步性飞跃，就如同二十世纪初黑体辐射所带给物理学的进展一样。

量子电动力学已经经受了几十年实验上的验证，成为了电磁相互作用的基本理论。认识到了量子电动力学理论的成功之处，促使人们将量子场的概念进行推广并应用到自然界所有的粒子场以及这些粒子场所参与到的四种基本相互作用中，用这些理论来描述粒子物理学中的各种粒子的产生于湮灭过程和现象，然而量子场论依然遇到了另一个严重的技术上的困难：当面对电磁场的相互作用不强的情形下，因而使用微扰论的方法处理就可以得到相当好的近似结果，然而并不能用这套理论来解决相互作用很强的情况。例如，导致衰变的相互作用很弱，因此衰变现象完全可以利用微扰论的方法来解决。然而当场与场之间的相互作用很强的时候，例如：介子、介子、核子以及超子之间的相互作用的强度远远超过电子和电磁场之间的相互作用的强度，因此，用微扰论的方法来计算这些强相互作用所导致的物理学效应，只能得到很坏的近似，甚至根本无法用微扰论的方法来进行计算。1935年，汤川秀树(Yukawa)提出了核子之间是通过交换介子形成原子核内部超强的核力的理论，然而人们将汤川理论和核力实验进行比较时发现有效相互作用强度远大于1，因此整个微扰理论计算就变的没有意义了。20世纪50年代，放弃微扰论而发展不依赖于微扰展开的S矩阵理论和公理化场论有了很大的进展，但是这套理论对迅速发展的强相互作用物理现象并不是很有效果。目前，正在探索出力强相互作用的普遍有效方法，但是到目前为止，在这方面得到的成就是很初步的，这一困难若不能克服，将会严重阻碍量子场论的发展。

在另一方面，1958年费曼(Feynman)、吉尔曼(Gell-Mann)等人确立了描述弱作用的流在洛伦兹变换下应该具有V-A的形式，这被称为普适的费米型弱相互作用理论。尽管在最低阶的微扰论计算中，普适费米型弱相互作用理论可以给出于是杨相符合的结果，但是这个结果是不可重整的，面临着无法计算微扰论的高阶效应和其它原则性的困难，因此这种方法只能作为低能的有效理论。之后与1967年，温伯格(Weinberg)等人在SU(2)×U(1)规范对称群模型中引入了Higgs机制，提出了电磁相互作用和弱相互作用统一的理论，并且还预言了弱中性流的存在以及传递弱相互作用的中间玻色子质量，这个理论经历了一系列实验的精确检验，成为了电磁相互作用和弱相互作用的基本理论，相应的在1973年，维克切克(Wilczek)等人提出了SU(3)色规范群下的非阿贝尔规范场论，来作为强相互作用的量子场论，从而建立了量子色动力学理论(QCD)，而现在量子色动力学已经发展成为描述强相互作用的基本理论，量子色动力学理论的渐进自由性质在高动量迁移下的物理过程中得到了实验的检验，而汤川理论所描述的核子间的相互作用是量子色动力学低阶近似的结果。对于低动量迁移的物理现象和强子结构，这种理论则要面临着夸克禁闭的困难，电磁相互作用和弱相互作用统一理论与描述夸克之间强相互作用的两则色动力学理论合并在一起成为粒子物理学中的标准模型理论。这是20世纪物理学最重要的成果之一，在标准模型中，夸克、轻子以及传递相互作用的媒介粒子就是物质世界的基本组成单元，而他们之间的相互作用规律遵从量子色动力学和电弱统一理论。然而实验表明，标准模型已经取得了很大的成功，但是也同时暴露了它不是自然界中最基本的理论，存在更深层次更基本(新能标)动力学规律的有效理论，人们也仍在深入探讨和发展更高能标下的量子场论的新形式。

综上所述，当前量子场论的重要工作就是：一方面分析和概括高能物理实验所提供的各方面的事实和规律，建立只能在各个局部现象领域内起作用的一系列带有唯象性质的理论；另一方面应该分析目前量子场论基本困难的性质，从新的实验结果中寻觅新的物理学思想和概念，以求能克服这种基本困难。进行这些工作的重要前提是创造普遍有效的处理强相互作用的方法。在这些方面取得重要的成就之后，就有条件建立统一的基本粒子及其相互作用和相互转化的理论^[1-2]。

1.2 磁场中量子场论的工作

目前，磁场为量子场论的研究提供了一个新的自由度，在很多方面扮演着非常有趣的角色，很多研究表明，磁场作用于强相互作用时，体现出了很多神奇的现象。

例如，对于手性对称性而言，手性对称性在基本粒子物理中起着重要作用。一段时间以来，除了熟悉的弱耦合阶段之外，QED可能具有非微扰强耦合阶段，其特征在于自发性手性对称破坏，这一新现象的存在被利用在几年前的GSI观测到的电子和正电子光谱中存在多重相关和窄峰结构的新解释中^[3-5]。根据这种情况，电子-正电子峰值是由于新的QED相中形成的束缚电子-正电子系统的衰变引起的，该QED相由强碰撞重离子附近存在的强烈且快速变化的电磁场引起。因此，调查诸如恒定磁场之类的背景场是否会潜在地引起规范理论中的手性对称性破坏并且最终导致形成破坏费米子凝聚物和动态产生的费米子质量的手征对称性的形成是非常有意义的。

事实上，动力学手征对称性破坏的磁性催化作用已被确定为2 1和3 1维度的普遍现象。根据这些结果，即使在费米子之间最弱的吸引相互作用下，恒定的磁场也会导致费米子动力学质量的产生。这种效应的实质是在磁场中费米子配对的动力学中的尺寸减小，这是由于带电粒子的运动在垂直于磁场的方向上受到限制而引起的^[6]。弱耦合情况下，这种动力学过程被认为是由最低朗道能级所决定的。磁性催化不仅从纯粹的基本观点来看有趣，而且在非中心重离子散射、致密星体及早期宇宙等方面扮演着重要角色^[7-9]。

在近些年，对于强磁场中的带电点粒子的粒子态、磁场对粒子的动力学质量影响及磁场中修正库仑势有一定的研究^[10-12]。Shabad和Usov发现在外部恒定磁场中，电子的拉莫长度比康普顿长度短得多，他们考虑由于真空极化引起的点电荷的库仑电位的改变，在拉莫尺度上建立了静态相互作用的短程分量，用类似汤川秀树的定律表示，并揭示了相应的“光子质量”参数。他们发现静电力在康普顿尺度上恢复其长程特征为电势的末端遵循各向异性的库仑定律，沿磁场方向随着电荷缓慢减小而是迅速变化。在无限磁场极限中，电势被限制在穿过平行于外部场的电荷的极小范围内，他们的发现是量子电动力学光子领域中尺寸减小的第一个证据，导出的一维电势是以电荷为中心的函数；在Sadooghi和Sodeiri Jalili的研究中，他们使用两种不同的方法对量子电动力学(QED)中的库伦势在最低朗道能级(LLL)进行计算，其中一种方法是在两种不同的动力学质量范围下(例如和两个范围，其中是相对于外磁场方向动量的纵向分量)对相应的Wilson圈图进行微扰论的计算，所作出的结果与从波恩近似(Born approximation)所得出的结果相对比，两者结果是一致的。尽管两者在之前所提到的动力学质量范围内有不同的行为，但是他们观察到了在粒子-反粒子轴线与和外磁场方向的夹角的新奇依赖性：在动力学质量范围内，对于足够强的磁场和的依赖性，类库伦势中会发生质变；并且发现当时，库伦势是排斥的，并且在的范围内存在最小值；Vavancini和Farias等人对磁场对中性介子质量的影响进行了研究，他们在零温度和零重子密度的随机相位近似(RPA)内使用SU(2)中Nambu-Jona-Lasinio模型对处于强磁化介质中计算中性介子极点质量，并采用磁场依赖耦合G(eB)来重现夸克凝聚态物质的格点QCD结果。为了避免非物理振荡，对于发散量的处理采用独立于磁场的正则化方案，通过比较表明，前者产生的结果与近期格点计算的预测更接近，特别是，他们发现当磁场增加而标量质量几乎保持不变时，介子质量系统地减小。

1.3 传播子

传播子描述的物理意义为当场中有一扰动时，从源处传播到处的振幅大小。当已知初始场函数，利用传播子可以确定在空间中传播后的状态场函数，而且在量子场论中，许多相互作用都是通过传播粒子来进行相互作用，也就是说这些中间媒介粒子就是这个过程的传播子，其中比较著名的模型就是汤川秀树的核力模型，该模型描述核子间通过交换介子来完成相互作用。曾谨言先生曾在他的《量子力学（卷Ⅰ）》中描述到：求解约束粒子的传播子是一个比较困难的问题，对于磁场中带电介子的传播子形式的求解是一个比较困难又有趣的问题。

本文的目标是从量子场论出发，计算磁场中玻色子的传播性质，希望得到磁场中介子的传播子形式，以提供磁场对汤川势及核子之间核力影响的求解可能。