自旋轨道耦合是量子物理学中基本的物理效应，它在多种基本物理现象和最新发现的量子现象中扮演了核心角色。对这些现象的讨论产生了自旋电子学、拓扑绝缘体、拓扑超导体等当前凝聚态物理中最重要的前沿研究学科。但是，由于现实实验环境的复杂性和难以操纵性导致实现这些新奇的量子现象具有非常大的困难，对相关科研工作带来很大挑战。实现自旋轨道耦合是人工规范场的一个重要的应用，目前实验室里面能够实现两种类型的自旋轨道耦合。一种是Rashba和Dressalhuass的等权叠加的自旋轨道耦合。另一种是Rashba的自旋轨道耦合。对于超冷玻色气体,这样将带来诸如条纹相到平面波相的相变等现象。对于超冷费米气体,自旋轨道耦合的出现不仅带来两体束缚态的改变,并且会带来超流相。从这里可以看出，自旋轨道耦合所带来的是令人着迷的新奇物理现象，具有很高的研究价值。随着超冷原子物理量子模拟领域的不断发展，在超冷原子中实现人工自旋轨道耦合并研究新奇量子物态已成为该领域最重大的前沿课题之一。并且至今已经取得了许多重要成就，为了达到目的首先是提出在光晶格^[1]和超冷费米气体^[2]中与自旋无关的人工磁场的理论方案。之后将超冷费米气体的方案推广，引入自旋，提出合成与自旋有关的人工规范场，从而产生人工自旋轨道耦合的理论^[3]，但是其具有特殊性，因此又提出了在光晶格^[4]与连续超冷原子气^[5]中更一般的被称作非阿贝尔人工规范场的理论。基于这些理论，可以实现不同维度和类型的人工自旋轨道耦合。之后则出现了更具体的理论方案即在简单的Lambda体系中通过拉曼耦合可实现一维人工自旋轨道耦合^[6]。而这个体系被普遍用到实验中来合成人工自旋轨道耦合和规范场。在实验上spielman小组首次利用两束相对传播的拉曼激光在Rb原子的BEC系统中实现人工规范势^[7]，并且随后成功制备原子的Rashba和Dresselhaus的等权叠加的自旋轨道耦合。这使得人们不仅可以模拟还可以在具体实验中制备不存在的结构并发现新的现象。包括玻色子磁性相和条纹相，量子反常霍尔效应，拓扑绝缘态，拓扑超流等一系列重要的现象。目前已经实现了在费米子中二维自旋轨道的耦合^[8]。

2. 研究的基本内容与方案

本次所要进行的内容为冷原子一维自旋轨道耦合的模拟，其中要求了解人工规范势，并且掌握自旋轨道耦合的基本原理，模拟、以及分析冷原子自旋轨道耦合系统的基本性质，然后再进行模拟计算，最后得到各自旋轨道耦合系统的色散关系，并且分析各参数对系统色散的影响。得到系统的色散关系，最后得出结论。

自旋轨道耦合效应指的是耦合电子的自旋自由度和它的轨道自由度之间的关系。自旋轨道耦合是一种量子相对论效应，所以应从相对论量子力学的重要方程Dirac方程出发，掌握求解哈密顿量的本征值及本征态的具体过程。而在实际的系统中，粒子的速度远远小于光速，因此考虑外场中的Dirac方程的在非相对论状态下的近似，得到自旋轨道耦合项，针对凝聚态系统中主要的两种自旋轨道耦合形式展开讨论，通过了解一维两组分拓扑超流系统的分析过程，求解系统哈密顿量的本征值，得到系统的色散关系，并对各参数对色散的影响进行讨论分析。从而得到其主要性质，包括准粒子色散关系等，并对各参数对色散的影响进行讨论分析。