摘 要

倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合的绝对不稳定系统，研究倒立摆系统的控制方法可以有效的反映出控制理论中的很多典型问题，如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题及跟踪问题等，因此倒立摆系统对控制理论的研究有着非常重要的作用。小车倒立摆是倒立摆系统控制的典型模型，保持摆杆的平衡状态是控制倒立摆的关键。

本文主要讲述了倒立摆系统控制理论的发展过程和研究现状，介绍了倒立摆系统的结构和数学模型，并运用牛顿力学方法建立了小车倒立摆传递函数形式的数学模型。分别使用根轨迹法、频率响应法和PID控制三种典型控制方法对倒立摆系统进行控制，用MATLAB对三种控制系统进行了仿真，验证了设计的有效性和实现性。

关键词：倒立摆 数学建模 PID控制 Matlab

Abstract

The inverted pendulum system is a multivariable, nonlinear, strong coupling and absolutely unstable system, the control method of the inverted pendulum can effectively reflect many typical problems in the control theory, such as nonlinear problems, the problem of robust stabilization problem, with asking questions and tracking problem, therefore, inverted pendulum system plays a very important role in the research of control theory. The inverted pendulum is a typical model of inverted pendulum system, and the key to control the inverted pendulum is to keep the balance state of the pendulum.This paper describes the development process and research status of the inverted pendulum system control theory, introduces the structure and mathematical model of inverted pendulum system, and the establishment of a pendulum transfer function mathematical model using Newton mechanics method. Using the root locus method and frequency response method and PID control of three kinds of typical control method to control the inverted pendulum system, the simulation of three kinds of control system by using MATLAB to verify the effectiveness of the design and implementation.

Key words:inverted pendulum mathematical modeling PID Matlab

目录

摘 要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1倒立摆系统简介 1

1.1.1倒立摆系统研究意义 1

1.1.2倒立摆的种类 1

1.1.3倒立摆的特性 2

1.2倒立摆系统研究背景 2

1.2.1国外研究动态 2

1.2.2国内研究动态 3

第2章 一阶倒立摆的数学模型与分析 5

2.1数学建模 5

2.2确定传递函数 7

2.3仿真设计 8

2.3.1开环脉冲响应 8

2.3.2开环阶跃响应 10

第3章 倒立摆的根轨迹校正实验设计 12

3.1设计要求 12

3.2根轨迹分析 12

3.3根轨迹法校正过程及结果 14

第4章 倒立摆的频域校正法实验设计 18

4.1设计要求 18

4.2频域响应分析 18

4.3频域法校正设计过程及结果 20

第5章 PID控制器设计 28

5.1PID控制概述 28

5.2PID控制规律 29

5.3PID控制设计 29

总结 34

参考文献 35

致谢 36

第1章 绪论

1.1倒立摆系统简介

倒立摆是位于倒立不稳定的状态，能够由人为的控制使之处于动态平衡状态的一种摆，是所有支点在下，重心在上的控制问题的抽象^[1]。倒立摆系统因为自身具备的非线性、多变量、不稳定以及强耦合的特性，始终被作为一个典型的研究对象，通过倒立摆系统不停的开发出新的控制方法。

1.1.1倒立摆系统研究意义

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性的系统，是一个理想情况下的实验平台，在进行控制实验和控制方法的教学中都发挥着非常重要的作用^[2]。在对倒立摆系统的控制过程中可以清楚的反映出很多重要的控制问题，比如非线性、鲁棒性、镇定性、随动性等，这也是倒立摆为什么能成为检测新的控制方法的理想模型的主要原因。目前，专家们通过对经典控制方法、现代控制方法和许多智能控制方法的研究完成了各种类型倒立摆系统的稳定控制。

倒立摆是控制理论领域研究中的一个典型对象，这主要表现在以下两点：一是作为一个实验平台，倒立摆具有价格便宜、构造简单、物理结构和参数容易调节、方便在实验平台上实现的优点；二是作为被控制的对象，倒立摆系统因为其自身特性又是十分复杂的，必须采用有效的控制方法才能稳定的控制倒立摆系统。

倒立摆的控制方法应用范围很广，在工业生产、航空航天和双足机器人等诸多领域都能看到倒立摆控制方法的身影，比如半导体及其精密仪器的加工、火箭在发射过程中对其角度的控制、卫星在指定的运行轨道上飞行时的姿态控制和双足机器人行走过程中的平衡度控制等。所以对倒立摆系统进行深入研究有着很重要的理论意义和工程实践意义。

1.1.2倒立摆的种类

倒立摆系统的种类很多，按照倒立摆的形式可以分为直线倒立摆、旋转倒立摆和平面倒立摆等；而按照倒立摆的摆杆级数不同又可以划分为一级倒立摆、二级倒立摆、三级倒立摆、四级倒立摆等，摆杆的级数越高倒立摆的控制难度就越大^[3]。迄今为止，专家们最高能够完成稳定控制的倒立摆是四级倒立摆，在对多级倒立摆的控制上还有很多的路要走。

1.1.3倒立摆的特性

不同种类的倒立摆在形态和结构都有些差异，但是任何倒立摆都有其共同的特点：

1. 非线性

倒立摆是一种典型的非线性系统，为了便于控制，通常在进行实际分析时先对倒立摆的系统模型作线性化处理，得出系统近似的线性化模型，然后再对被线性化后的系统模型进行控制。直接运用非线性控制理论也可以对倒立摆系统进行控制。

（2）不确定性