摘 要

本文借助仿真软件MATLAB实现对N个节点的复杂网络二值模型的仿真，在赋予部分节点初始值之后，仿真得出发生相继故障的概率分布图，对复杂网络的稳定性具有指导意义。

论文主要研究了复杂网络发生相继故障与节点状态、网络均匀性等因素的联系。

研究结果表明：网络节点的均匀性分布对复杂网络的稳定具有重要的意义。

本文的特色：从二值模型入手，分析复杂网络的基本特征以及稳定性。

关键词：复杂网络；二值模型；MATLAB仿真与分析；相继故障

Abstract

In this paper, the simulation of complex network binary model of N nodes is realized by simulation software. After the initial values of some nodes are given, the probability distributions of successive faults are obtained, which is of great significance to the stability of complex networks.

The paper mainly studies the relationship between successive faults such as complex network and node state, network uniformity and so on.

The results show that the uniformity distribution of network nodes is of great significance to the stability of complex networks.

The characteristics of this paper: from the binary model to start, analyze the basic characteristics of complex networks and stability.

Key words: complex network; binary model; MATLAB simulation; successive failures

目录

第一章 绪论 1

1.1 复杂网络研究的现实意义 1

1.2 复杂网络研究的特性 1

第二章 复杂网络 3

2.1小世界网络模型 3

2.2 传输或聚类 4

2.3 度相关性 5

第三章 二值影响模型与网络相继故障 7

3.1 二值影响模型的理论基础 7

3.2 二值模型的模型动机 7

3.3模型详述 8

3.4 二值模型的数学理论基础 9

3.5 二值模型在MATLAB中仿真的逻辑 12

3.6 结果与分析 12

3.7 结论 18

毕业设计总结 19

参考文献 21

致谢 23

第一章 绪论

1.1 复杂网络研究的现实意义

复杂网络在人们的生活中无处不在。从20世纪开始，人类进去信息高速时代，数以亿万计的信息网络把世界各地的人们联系起来。从电力系统网络到全球的交通网络，从无形的信息交流网络到人与人交流的人脉网络，网络的构建给人们带来了极大的便利，同时，也带来了巨大的风险。1965年美国东北部大停电就是最好的例子，复杂而又庞大的供电网络会由于其众多的零件而变得更加的脆弱，某一个零件因为某些因素出现故障而导致整个供电网络的瘫痪也不是危言耸听。当一个新的城市被建立起来，人们往往先会考虑如何规划人口的密度分布，从而才能够确定整个城市的交通网络如何建立，而城市交通网络的建立也是离不开科学家们对复杂网络孜孜不倦的研究和探索。所以，在现代人口密度不断上涨，电力需求愈加旺盛，人们对畅通而又稳定的网络需求也愈加的迫切，研究复杂网络的稳定性具有重要的现实意义。

1.2 复杂网络研究的特性

为什么复杂网络的研究如此重要？ 因为网络的结构总是能决定它的功能。 例如，社交网络的拓扑结构影响信息和疾病的传播，电网拓扑影响电力传输的鲁棒性和稳定性。从这个角度来看，目前对网络的兴趣是对复杂系统研究的更广泛的运动的一部分。 用Wilson的话来说，“今天最大的挑战，不仅在于细胞生物学和生态学，而且在所有的科学中，是对复杂系统的准确和完整的描述。 科学家们分解了很多种系统。 他们认为他们知道大部分要素和力量。 下一个任务是重新组合它们，至少在数学模型中捕获整个集合的关键属性。

但是，网络本身就难以理解，我们通过对复杂网络深入地了解，得出了复杂网络如下令人们难以研究学习的特征：

1. 结构复杂性：接线图可能是一个复杂的缠结；
2. 网络演进：接线图可能随时间而变化。在万维网上，网页和链接每分钟创建并丢失；
3. 连接多样性：节点之间的链路可能具有不同的权重，方向和符号。神经系统突触可能强或弱，抑制性或兴奋；
4. 动态复杂度：节点可以是非线性动力系统。在基因网络或约瑟夫逊结阵列中，每个节点的状态可以以复杂的方式在时间上变化；
5. 节点多样性：可能有许多不同种类的节点。控制哺乳动物细胞分裂的生化网络由一系列令人困惑的各种底物和酶组成。例如，电网的现有布局取决于多年来如何发展 - 网络演进影响拓扑的情况。当耦合神经元反复反复激发时，它们之间的联系得到加强;这是记忆和学习的基础。

第二章 复杂网络

2.1小世界网络模型

在1960年代斯坦利·米尔格拉姆进行了著名的实验进，在信魁从人到人传递是在均衡器只有少数的步骤，在公布的情况下，达到指定的目标个体，平均距离大约为6。这一结果是小世界效应的第一现场演示之一，但事实上，在大多数网络SCCM顶点MOST同行通过网络短路径连接。小世界效应实际存在，已经在斯坦利·米尔格拉姆的工作之前，由匈牙利作家弗里格耶斯·卡林西和更严格的游泳池的数学工作，但猜测，尤其是在一个显着1929年的短篇故事后Milgram的研究发表，是在预印本形式了十年循环米尔格拉姆拿起了问题之前。如今，小世界效应，进行了研究，并在大量不同的网络的直接验证。

考虑一个无向网络，让我们定义一下作为网络中顶点对之间的平均测地线（即最短）距离：

其中是从顶点i到顶点j的测地距离。 请注意，我们已经将每个顶点的距离包括在此平均值中（其为零）。 这在数学上很方便，原因很多，但并不是所有的作者都这样做。 无论如何，它的包容简单地乘以通过（n-1）/（n 1），并因此给出阶数的校正，其实际上通常可以忽略。

数量可以使用简单的宽度优先搜索，在物理学文献中也称为“燃烧算法”，在时间O（mn）中测量n个顶点和m个边缘的网络。在表3.1中，我们显示了 从文献中获取各种不同的网络。如表所示，这些值在所有情况下都相当小，比顶点数n小得多。

的定义在具有多个组件的网络中存在问题。 在这种情况下，存在没有连接路径的顶点对。 通常，一个这样的对分配无限测距距离，然后呢也变得无限。为了避免这个问题，通常会定义在这样的网络上是具有连接路径的所有对之间的平均测地距离。 落在两个不同组件中的对不包括在平均值中。另一种也许更令人满意的方法是定义成为所有对之间的“谐波平均”测地距离，即互逆平均值的倒数：

的无限值然后对总和没有贡献。 这种方法只是偶尔在网络计算中被采用，但也许应该更频繁地使用。

小世界效应对网络进程的动态变化有明显的影响。 例如，如果通过网络考虑信息的传播，或者其他任何事情的传播，小世界的效应就意味着在大多数现实世界的网络上这种传播将是快速的。 例如，如果传言从任何人传播到任何其他方面只需要六个步骤，那么谣言的传播速度要远远超过百步或百万步。 这影响了数据包必须在互联网上从一台计算机到另一台电脑的“跳数”，空中或火车旅行者的旅程的数量，疾病在整个人口中传播的时间， 等等。 小世界效应也是一些着名的客厅游戏，特别是计算鄂尔多斯数字和培根数字。

另一方面，小世界的效果在数学上也是显而易见的。如果一个典型的中心顶点距离r内的顶点数量随着r指数增长，并且许多网络都是如此，包括随机图，那么将增加为n。近年来，“小世界效应”一词具有更精确的含义：网络如果能够显示出小的世界效应，用固定平均度的网络大小对数或更慢的比例。对数缩放可以被证明为各种网络模型[61,63,88,127,164]，并且也已经在各种现实世界网络中被观察到[13,311,312]。某些网络的平均顶点距离比n慢。 Bollobas和Riordan已经表明，具有幂律度分布的网络具有这增加不比快，Cohen和Havlin给出了一些参数，表明实际变化可能比这更慢。

2.2 传输或聚类

在网络传递性的属性中，可以看出与随机图的行为有明显差异，有时也称为聚类，尽管后一个术语在网络研究中也具有另一个意义，因此可能令人困惑。 在许多网络中，发现如果顶点A连接到顶点B和顶点B到顶点C，则顶点A也将连接到顶点C的概率较高。在社交网络的语言中，您的朋友 朋友也可能是你的朋友。 在网络拓扑方面，传递性意味着在三个顶点的网络集合中存在增加的三角形数量，每个顶点连接到每个顶点。 因此可以通过定义聚类系数C来量化它：

其中“连接的三联”是指具有边缘运行到其他无序对的单个顶点。

实际上，C测量填充三边形的三元组的分数来完成三角形。 分子中的三个因子考虑到每个三角形有助于三个三元组，并确保C位于0≤C≤1的范围内。简单来说，C是作为网络邻居的两个顶点的平均概率 相同的其他顶点本身就是邻居。 它也可以写在表格中:

对于等于0或1的顶点，分子和分母为零，我们将Ci = 0。那么整个网络的聚类系数是平均值

这个定义有效地反转了将三角形与三倍体的比值和顶点平均的操作顺序 - 一个在这里计算比率的平均值而不是平均值。 它倾向于更加重地降低低度顶点的贡献，因为这种顶点在中具有小的分母，因此可以给出与前面的相当不同的结果。 在表3.1中，我们给出了一些网络的测量（表中表示为C（1）和C（2））。 通常，我们前面的定义更容易分析计算，但是可以在计算机上轻松计算，并在数值研究和数据分析中得到广泛的应用。 在这个领域阅读（或写作）文学时，要清楚使用聚类系数的定义是非常重要的。

上述本地聚类Ci在社会学文献中已被广泛使用，被称为“网络密度”。 Dorogovtsev，Goltsev，Mendes和Szab'o，Alava和Kert'esz研究了其对中心顶点i的度ki的依赖性。 两组都发现，某些型号的无量纲网络，Ci以ki近似为。 在实际网络中也经历了类似的行为观察。

值往往比具有相似数量的顶点和边缘的随机图显着地更高。 实际上，怀疑对于许多类型的网络，朋友的朋友也是你的朋友的概率在网络变大时应该趋于非零极限，所以为，相比之下，随机图对于大n（C的定义）的，因此可以预期真实世界和随机图值可以依次为n的因子。

聚类系数测量网络中三角形的密度。一个明显的概括是询问更长的循环的密度：长度四和以上的循环。一些作者已经研究了这样的高阶聚类系数，尽管迄今为止还没有一个干净的理论，类似于累积量的扩展，将各种订单的独立贡献与一个另一个。如果在一对顶点之间允许多个边缘，则还存在描述长度为2的环的密度的较低阶聚类系数。该系数在有向图中特别重要，其中所讨论的两个边缘可以指向相反的方向。定向网络中的两个顶点彼此指向的概率被称为互惠性，并且经常在定向社交网络中测量。在其他情况下也偶尔进行了审查，例如万维网和电子邮件网络。

2.3 度相关性

根据标量顶点属性的分类混合的特殊情况是根据顶点度进行混合，通常也简称为度相关。 网络中的高度顶点是否优先与其他高度顶点相关联？ 或者他们喜欢附加到低度的？ 事实证明，这两种情况都在某些网络中被看到。 由于程度本身是图形拓扑的属性，因此程度相关性可能会引起一些有趣的网络结构效应。

已经提出了几种量化度相关性的不同方法。 Maslov等人简单地绘制了边缘任一端的顶点度的二维直方图。 他们已经显示蛋白质相互作用网络和互联网的结果。 情况更为紧密的表述是由Pastor-Satorras等人提出的谁在互联网研究。