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曲线无偏差检测器

Carsten Steger

摘要：-曲线结构提取是计算机视觉中一项重要的底层操作，具有广泛的应用前景。大多数现有的方法仅仅对要提取的曲线使用了一个简单的模型，即，它们不考虑曲线的周围环境。这就导致了一个不理想的结果，即每当提取具有不同横向对比度的曲线时，都会在错误的位置提取曲线。相比之下，本文提出的算法对曲线及其周围环境使用了显式模型。通过分析模型线廓线的尺度空间行为，说明了如何消除由非对称线引起的偏差。此外，该算法不仅返回精确的亚像素线位置，还返回每个线点的线宽，具有亚像素精度。

关键字：特征提取，曲线结构，直线，尺度空间，轮廓连接，低层处理，航空图像，医学图像

1. 背景

数字图像中的曲线结构，通常简称为线，提取曲线结构是计算机视觉中重要的底层操作，具有广泛的应用前景。在摄影测量和遥感任务中，它可用于从卫星或低分辨率航空图像中提取包括公路、铁路或河流在内的线性特征，这些特征可用于捕获或更新地理信息系统[1]的数据。此外，它还可用于医学成像中提取解剖特征，如x线血管成像[2]中的血管或CT或MR图像[3]中的颅骨。

以往的在线检测工作可以分为三类。第一种方法是只考虑图像[4]、[5]的灰度值来检测行，并使用纯粹的局部标准，如局部灰度值差异。由于这将产生许多关于线点的错误假设，因此必须使用复杂且计算代价高昂的感知分组方案来选择图像[6]、[7]、[5]中的显著线段。此外，这种方法不能提取亚像素精度。

第二种方法将直线视为具有平行边的对象[8][9]。首先，确定每个像素的局部线方向。然后将两个专门调优的边缘检测过滤器垂直地应用于直线，其中每个过滤器检测直线的左边缘或右边缘。每个滤波器的响应是非线性组合的[8]。这种方法的优点在于使用了高斯核的导数，可以在标量空间中迭代该过程来检测任意宽度的直线。然而，由于方向边缘检测滤波器是不可分离的，这方法的

计算代价很高。

最后一种方法是将图像作为函数 ，利用几何差分理论从图像中提取直线。这些算法背后的基本思想是在图像函数中定位“山脊“和“峡谷”的位置。它们可以根据使用属性进一步划分。

第一类别将脊定义为图像等高线上曲率为最大[3]、[10]、[11]的点。一种方法是显式提取等高线，找到曲率最大的点，并将提取的点链接到脊[10]中。这个方案有两个主要缺点。首先，由于水平脊没有找到等高线，这些脊将被标记为一个延伸的峰。此外，对于坡度较小的山脊，等高线会被广泛分离，难以连接。另一种提取等高线上曲率最大值的方法是给出曲率及其方向的显式公式，并在曲率图像中搜索最大值[3][11]。对于水平脊线，此过程也将失败。此外，该算子发现的脊点位置往往是错误的位置[3][12]。

在第二类别中，在图像的主曲率之一假设局部最大处发现脊线[11]，[13]。对于平面轮廓的直线，它的问题是找到与真实直线位置对称的两个最大曲率的独立点[11]。

在第三个子类别中，利用图像函数的二阶或三阶泰勒多项式对图像函数进行局部逼近来检测山脊和沟壑。该多项式的系数通常由面模型确定，即通过多项式对确定窗口大小的图像数据进行最小二乘拟合[14][15][16][17]。直线的方向由泰勒多项式的海森矩阵决定。线点是通过选择垂直于线方向的高二阶方向导数的像素来找到的。该方法的优点是可以检测到亚像素精度的直线[14]。然而,由于用来确定泰勒多项式系数的卷积模板对一次和第二次偏导数的估计十分糟糕,这种方法通常会导致一行中出现多次响应,特别是当使用大于5times;5用于抑制噪声的卷积模板时。因此，该方法并不灵活，且不能用于检测比卷积模板更宽的线。基于这些原因，人们提出了一些利用高斯模板检测脊点[18]、[19]的线检测器。他们可以针对一个特定的线宽通过选择合适的，也可以选择适当的sigma;为每一个图像点通过遍历规模空间[18]。然而,由于线周围的环境的不是模型化的，提取出的线的位置随着的增加会不准确。

很少有检测方法考虑沿线位置提取线宽。它们中的大多数都是在尺度空间的迭代中选择尺度来实现的，即,sigma;, 归一化响应收益率的最大的尺度应即为线宽[8],[18]。然而，这种方法的计算成本十分昂贵，特别当只对一定宽度范围内的线感兴趣的时候。此外，这些方法只能得到线宽的粗略估计，因为尺度空间是以相当粗略的间隔进行量子化的。在[14]中给出了一种不同的方法，即同时提取直线和边缘。对于每个线点，从结果中匹配两个对应的边缘点。该方法的优点是，原则上可以提取出亚像素精度的线及其对应的边缘。然而，由于使用的是三阶面模型，上述的问题同样存在。此外，由于该方法没有对直线使用显式模型，因此直线对应边的位置通常没有意义，因为忽略了直线与其对应边之间的交互作用。

本文提出了一种利用显式模型进行直线检测的方法，并对复杂的线廓模型进行讨论。对每个模型进行了尺度空间分析。该分析得到了一种亚像素精度的直线及其宽度提取算法。该算法利用上述微分几何方法的一种改进来检测直线及其对应的边缘。由于使用高斯模板估计图像的导数，因此该算法可扩展到任意宽度的直线，同时始终产生单一响应。此外，由于线与对应的边之间的相互作用是显式建模的，提取的线和边位置的偏差可以进行分析预测，从而可以消除。

2.线点检测

2.1一维线轮廓模型

许多线检测方法认为一维中的线是条形的，即则假设宽度2和高度的理想线轮廓为

(1)

这种轮廓的平整度是许多感兴趣物体的特征，例如航空图像或印刷字符中的道路。

然而，线两边的对比度相同的假设很少适用于真实图像。换句话说，条形线条是非对称的。

（2）

本文认为为最常见线廓线。高度 的通线可以通过考虑比例不对称剖得到即 。

2.2一维线结构检测

为了推导直线检测算法，我们暂时假设直线z(x)的轮廓线不像公式(1)和(2)那样是平面的，而是一个“圆形”轮廓线，例如[20]中的抛物线轮廓线。那么它就足以确定 消失的点。然而，通常只选择突出的线条比较方便。突出的线条的一个有用判据是 点处的二阶导数的模的大小。深色背景上的亮线有lt;0，而在

明亮背景上的深色线条的gt;0。由于噪

声的存在声的存在，该方案对真实图像的处理效果不理想，应该通过图像与高斯平滑内核卷积得到,因为,在非常一般的假设,它是唯一的内核,导致了固有的病态问题,估计噪声函数的导数适定的[21]。高斯核为:

（3）

（4）

（5）

因此，可以得到线轮廓的尺度空间描述[20]。这种方法的可取之处是，对于抛物线轮廓线，提取的位置总是真实的直线位置，二阶导数总是在直线位置处取得最大值。因此,基于凸线可以选择他们的二阶导数为所有[20]。

在分析了抛物线轮廓线后，我们得到了线提取算法应该具备的理想特性，接下来让我们考虑本文中更常见的条形轮廓线的情况。对于这种类型的配置文件没有噪音,没有简单的标准,只取决于和,因为和在区间 消失。然而，如果条形线与高斯核的导数卷积，在每种情况下都能得到一个光滑函数：

（6）

（7）

（8）

（9）

图1为w = 1和h = 1时的杆型线的尺度空间行为。从图中可以看出，条形剖面在其四角逐渐变得“圆润”。一阶导数在所有处消失,然而,二阶导数 不承担其对小型sigma;最大负值。事实上,对于 非常接近于零。此外,有两种截然不同的最小值的区间 。然而,希望展示一个明确定义的最小,因为凸线选择这个值sigma;的值由方程的解给出。可以证明

（10）

这个条件必须遵守。此外,从这个很明显, 有其最大尺度空间 负面反应。这意味着与上面描述的相同的方案也可以用于检测条形线。然而,限制sigma;应该观察到确保凸行可以基于二阶导数的大小选择。

此外，公式(7)和(8)可用于推导条形直线的边在尺度空间中的行为。边缘的位置给出的最大值| |或零交叉 。在一维情况下,这些定义是等价的。如第4节所讨论的，在二维中的使用垂直于直线方向的梯度的最大值来实现提取线条。这将给正确的边缘位置,除非线的曲率与相比非常高[22],在这种情况下,提取宽度太小了。由于这种尺度空间分析涉及无法解析解的方程，因此必须使用根查找算法[23]进行计算。图2显示了线的位置和相应的边缘。从公式(8)中很明显看出,一条线的边缘永远不可能靠近真正的线距的长度,因此,狭窄的线的宽度估计会变大,。这种效应也在边缘的背景下研究了定性。[24]和[25]中提出了基于边缘聚焦,先后与较小的sigma;值应用过滤器的解决方案,。然而，对于这里提出的模型，它可以反转描述边缘位置的映射，因此，一旦从图像中提取出边缘，就可以非常精确地定位它们，而无需重复地应用过滤器。

到目前为止的讨论假设线的两边有相同的对比度，这在真实图像中是很少见的。现在让我们来看看由(2)给出的不对称条形线

（11）

（12）

（13）

可以的到在处，

（14）

这意味着当直线两边的对比度有显著差异时，就会在错误的位置估计直线。这条线的估计位置将在这条线的实际边界内，只要

（15）

对应边的位置同样只能用数字计算。图3给出一个示例线和边缘位置的 。可以看出，直线和边缘的位置受直线不对称的影响很大。当a变大时，直线和边缘位置被推到弱边，即边梯度较小的边。

需要注意的是，公式(14)给出了一个显式公式的偏差的行提取器。假设我们知道每个直线点的w和a。这样就有可能通过将直线移回适当的位置来消除直线检测算法中的偏差。第5节将描述这个问题的解决方案。从上面的分析中，很明显，没有对一条直线的周围环境进行建模，即其边缘的不对称性，会导致估计的直线位置和宽度误差较大。没有考虑到这一点的算法可能不会返回非常有意义的结果。如果一个不同的线廓线可能更适合[2]，例如，一个适当修改的抛物线廓线，这里提出的方法可以用来建模轮廓线在尺度空间的行为，从而提高精度。

2.3一维离散情况下的线结构

到目前为止，已经对解析函数z(x)进行了分析。对于离散信号，只需做两处修改。首先是如何在离散空间中实现卷积的选择。选取完整高斯核[26]作为卷积核，主要是因为2.2节的尺度空间分析直接延续到离散情况。

另一个优点是，它们提供了掩核的自动归一化和一个给定逼近误差需要多少系数的直接标准。综合得到高斯如果一个视离散图像 为分段常数函数， 。在这种情况下，卷积核由:

（16）

（17）

（18）

实际操作中,近似误差设置为 因为图像包含灰度值在[0,255]这精度范围。使用个系数, 由 给出,当然，其他方案，如离散模拟高斯[26]或递归计算[27]，也适用。

必须解决的第二个问题是确定离散情况下的线位置。原则上，可以使用一个过零检测器来完成这项任务。然而，这将只产生具有像素精度的直线位置。为了克服这个问题，我们研究了的二阶泰勒多项式。让 的在点n处的局部估计导数与图像卷积。然后泰勒多项式为

（19）

直线的位置，即点为

（20）

如果点n位于像素的边界内，则称该点为线点，即,如果 二阶导数大于一个指定的阈值。需要注意，为了提取行，响应r是不必要的，因此不需要计算。关于如何提取直线点对应的边的讨论将推迟到第4节。

2.4二维直线检测

二维曲线结构可以建模为在垂直于直线的方向上具有一维线廓线特征的曲线，即垂直于，这个方向使。这意味着在方向上的第一个方向导数应该消失第二个方向导数的绝对值应该很大。没有关于方向导数的假设。

剩下的唯一问题是在局部计算每个图像点的直线方向。为了做到这一点，图像的偏导数必须通过与公式(16)-(18)对应的离散二维高斯偏导数核卷积来估计。z(x, y)的二阶方向导数取其最大绝对值的方向为n(t)方向。这个方向可以通过计算海森矩阵的特征值和特征向量来确定

（21）

使用雅可比旋转消去 项[23]，这是一种使数值稳定、高效的方式进行计算。令特征向量对应于最大绝对值的特征值，即 垂直于直线的方向。在一维情况下，使用二次多项式来确定沿方向的一阶导数是否在当前像素内消失。在泰勒多项式中插入，并使其沿t的导数为0，就可以得到这一点。

因此，给出的点是

（22）

其中

（23）

需要为了一个点被宣布为一条线。与一维情况一样，沿的二阶方向导数，即的最大特征值，可以用来选择突出线

2.5 举例

图4b和图4c给出了用这种方法得到的结果的一个例子。在这里,亮线点从输入图像中提取了图4中sigma;= 1.1。这幅图像是地面分辨率为2米的航空图像的一部分。直线点的亚像素位置 和垂直于直线的方向用向量表示。线的强度，即，第二阶方向导数沿的绝对值用灰度值表示。高显著性的行点具有深灰色值。

从图4中可以看出，如果使用8邻域，那么所提出的方法可能会对每一行返回多个响应。然而，当考虑到每个线点的亚像素位置时，可以看到，对于给定的线总是有一个单一的响应，因为所有的线点位置都是完美的直线。因此，与产生多种响应的方法(如[19]、[14]、[16])相比，链接要容易得多。

3.线点连接成

资料编号：[5723]