正弦信号整定信号：在频域内的鲁棒PID控制器设计

摘要

本文介绍了一种根据超调量和调节时间来设计PID控制器的设计方法。这种PID控制器设计保证了增益裕量，参数整定规则是在正弦激励信号下获得的一个适合的频率响应点。然后设计的控制器会将这个点移动到和要求的增益裕量交叉点。该点与指定的闭环系统在超调量与调节时间要求呈抛物线关系。这种方法已经在一大批实例中得到验证；随后，开发的算法已经扩展到鲁棒PID控制器的设计与零飘和非线性的系统上。

关键词：增益裕度; PID自整定;性能保证; 零飘现象

1. 介绍

控制系统设计师常常不得不应付机器设备表现出反比动态响应，这种设备建模通常在电力工程，伺服系统，汽车和液压厂和具有零不稳定等系统设备时遇到，对于控制包含有零点不稳定z = 1/alpha;的非最小相位系统是非常困难的，即使是一个很小的alpha;值；此外，控制含有递增alpha;复杂增长系统也是十分困难的。

所提出的新方法适用于使用具有非线性的不确定性未知数学模型和线性单输入单输出非最小相位系统的控制。一份关于PID参数整定的报告可以在Aring;strouml;m and Hauml;gglund (1995), Visioli (2006) and Yu (2006).中找到。该控制对象普遍适用于控制过程中给定最大超调和调节时间的系统。这个设计的关键思想是在保证二阶任意系统指定超调量和调节时间，包括在延伸的关系eta;max= f(GM) and ts= f(omega;n)的有效性；两个参数的二次依赖关系是：获得最大超调量关系式eta;max= f(GM,omega;n)和调节时间ts= f(GM,omega;n)。所得曲线称为B-抛物线，允许设计者选取一个可以使系统满足指定的性能参数的点，从而使系统闭环阶跃响应与被控对象闭环阶跃响应一致。这个设计思想被叫做正弦信号整定（SWT）方法，这个名称由用于测量对于设计PID控制器必要的设备参数的发生信号得到。

2．PID控制器设计应用于有零飘过程的实例

由于由非最小相行为带来的受控对象的增益裕量显著变化，在PID控制器设计时利用增益裕量作为测量性能指标是十分有益的。考虑一个如图1所示的多通路循环（SW位置的开关值为1）。

图1 SWT控制方法设计循环

G(s)为非最小相位系统的传递函数，GR(s)为PID控制器传递函数。

组合系统闭环响应特性等效为c(s) = 1 L(s) = 1 G(s)GR(s) = 0，根据表达式可将闭环稳定条件分解成幅值条件和相位条件。

GM时所要求的增益裕度，L(jomega;)是开环传递函数，omega;p*是开环相位穿越频率。ϕ = arg G(omega;p*), Theta; = arg GR(omega;p*),考虑在框架中理想PID控制器的传递函数：

K是适合的比例参数，Ti和Td分别为连续的积分时间和微分时间。之后比较两种形式的PID频域表达式：

PID系数可以在omega; = omega;p*的等式中获得

利用从（1）中得到的代换|GR(jomega;p*)| = 1/[GM|G(jomega;p*)|]。这个复杂的等式可以分解为两个等式

（6a）式是一个计算控制器获得参数K的方法；将（6a）式代入式（6b）中，得到关于Td的一个二次方程

计算Td的表达式的解为

于是，（6a），（7b）和（8）式即为PID参数整定的结果，角Theta;由（1b）的相位条件下获得

3．通过正弦激励信号输入辨识被控对象

再次考虑图1；如果SW=2，一个幅值为Un，频率为omega;n正弦激励信号u(t) = Unsin(omega;nt)引入到被控对象传递函数G(s)中。被控对象的输出y(t) = Ynsin(omega;nt ϕ)幅值为Yn，ϕ是y(t) 和u(t).之间的相位滞后。在由记录值u(t) 和y(t),读取值Yn和 ϕ之后，一个在频率响应中对应于激励频率的点可以在复平面中绘出。

激励频率omega;n在如下集合中取值

被控对象临界频率omega;c可以在著名的中继实验中获得。

利用系数为{K;Ti= beta;Td;Td}的PID控制器，坐标在负实半轴可以移动到相位穿越频率的识别点LPL(jomega;p*)，需求增益裕度GM得到了保证（图二所示）

图2 SWT型PID参数整定的图形表示

如果在激励信号和相位穿越频率之间的标识，满足

结合（11），有如下关系结果

相位穿越点坐标为LP= [|L(jomega;n)|,arg L(omega;n)] = [1/GM,minus;180◦]。

将式（13a）代入到（6a）并且将（12）代入到（8）中，保证需求增益裕度Gm的PID控制器坐标通过利用正弦信号整定规则获得，表达式如下所示

4.在所设计的PID控制器下的闭环响应

这部分回答了如下问题：如何将最大超调和调节时间：如何将要求的最大超调和调节时间转换为PID参数整定和辨识的频域参数（omega;n,GM）？结合典型增益裕度获取方法

j=1,hellip;，8；将（11）以Delta;omega;n= 0.15omega;c分解为5个相等的部分生成一组激励频率

k=1，hellip;，6；它的分子除以被控对象临界频率omega;c决定了由设定得到的激励水平sigma;k= omega;nk/omega;c

K=1，hellip;，6。图3展示了用对参数为T2= 0.75, alpha;2= 1.3 的被控对象设计的PID控制器在不同的GM和omega;n下闭环系统阶跃响应，增益裕量在不同的激励水平sigma;1= omega;n1/omega;c= 0.5, sigma;3= omega;n3/omega;c= 0.8和sigma;5= omega;n5/omega;c= 1.1下为GM= 5 dB, 9 dB, 11 dB 和 13 dB

闭环阶跃响应

时间(s)

闭环阶跃响应

时间（s）

闭环阶跃响应

时间（s）

被控对象时域响应G（s）

时间（s）

图3 （a）-（c）不同GM和omega;n下的闭环阶跃响应；（d）G2（s）时域响应图

以下列被控对象为基准

该方法已用于笛卡尔乘积中的每个元素omega;nktimes; GMj，公式（18）和（17）中j=1，hellip;,8;k=1,hellip;,6。基准系统（20）所设计的PID控制器下，单个控制回路的动态变化有显著变化。调节时间可由如下关系式表示

gamma;是阶跃响应的曲线因子。为了校验闭环系统不同动态响应下的调节时间，设定相对时间tau;s= tsomega;c。代入omega;n= sigma;omega;c我们得到相对稳定时间

这里ts和被控对象临界频率omega;c相关。由于引入omega;c，（22a）等式左边对于给定的被控对象和独立的omega;n是常数。依赖（22b）获得对于图4b和图5b描述的不同激励信号频率omega;nk经验值，显而易见，相位裕度递增的在每个激励水平下，相对稳定时间跌幅最大，然后在达到最小值后，开始上升。

结合有如下参数的基准被控对象G1（s）和G2（s）：G1.1(s): (T1,n1,alpha;1) = (0.75,8,0.2); G1.2(s):(1,3,0.1); G1.3(s): (0.5,5,1); G2(s): T2= 0.5, alpha;2= 1.3。两组有不同alpha;/T比率的校验对象[G2(s), G1.3(s)]和[G1.2(s), G1.1(s)]，第一组参数为[alpha;2/T2= 2.6, alpha;1.3/T1.3= 2]，第二组参数为[alpha;1.2/T1.2= 0.1, alpha;1.1/T1.1= 0.27]。因此，对于零点不稳定被控对象的PID设计中，被控对象参数alpha;和时间常数T的比值对于闭环系统稳定性评估是十分明显的。

基于以上对一系列基本例子的研究结果分析，有着不稳定零点的未知被控对象可以根据alpha;/T将其分为两类：

1.被控对象alpha;/Tlt;0.3；

2.被控对象alpha;/Tgt;0.3.

根据这个典型分类，对于有不稳定零点的非最小相位系统的经验关系eta;max= f(GM), tau;s= f(GM)为不同的开环系统构建了增益裕度GM和激励水平sigma;在图4a和图5a中描述，这些决定因素的组合展示了增益裕度所带来的eta;max增长。

图5.B抛物线：（a）eta;max= f(GM); (b) tau;s= omega;cts= f(GM)对于不同分辨率omega;nk/omega;c，k = 1, 2, 3, 4, 5, 6；alpha;/T lt; 0.3的非最小相位系统。

像图4和图5所示的经验关系与二次回归曲线近似，他们叫做B-parabolas，B-parabolas是一个非常有意义的设计工具来对_:(eta;max,ts)→(omega;n,GM)进行改造，可以选择合适的增益裕度和激励频率，严格来说，保证被控对象在最大超调和调节时间方面的性能。记录B抛物线在图4和图5相同激励水平下的值进行应用。

当想要控制一个有着不确定零点的实际对象时，alpha;/T由于被控对象的不确定性而无法精确指定。为了确定一个被控对象属于的类别，要足够的分析在继电保护测试中寻找omega;c输出变量的上升部分。如果y(t)有一个小小的过冲的s型曲线，这个被控对象包括在alpha;/T lt; 0.3的类别中并且图5的B抛物线能够应用。如果y(t)的一个很大的下冲出现了有平方根形式，该被控对象属于alpha;/T gt; 0.3的类别并且它的表现形式由图4的B抛物线确定。

5.应用SWTM设计鲁棒PID控制器

不确定被控对象辨识的主要思想包括在重复利用在被控对象一系列确定的点不断变化的正弦信号激励下的响应

系统参数变化改变体现在最大幅值裕度和相位裕度中，N = 2p是识别实验的数量，p是不同技术的数量。

不同系统G0(jomega;n)在omega;n点的值得自G0(jomega;n)的实际值的实部和虚部

Gi的典型点解析了系统的不确定性可以在G0(jomega;n)的MG循环中闭环，|G0(jomega;n)| = (a02 b02)0.5，ϕ0(omega;n) = arg G0(omega;n) = arctg(b0/a0)存在RGequiv;RG(omega;n)在Gi(jomega;n)和G0(jomega;n)之间存在最大距离

图6. 弥散圆MG和ML

弥散圆MG在包括系统所有辨识点Gi 的半径额定点G0的中心。

由鲁棒控制器产生的控制律GRrob(s)为额定点G0(jomega;n)设计实际上对weierp;:{RG→ RL:RL= |GRrob|RG}进行改造成一系列由ML 划定的Li(jomega;n)点，并且计算出ML圆的半径RLequiv;RL(omega;n)对应奈奎斯特曲线上Li(jomega;n)的点来保证鲁棒控制的精确性和稳定性。

鲁棒控制器PID利用2部分和3部分的SWT思想来设计，额定对象模型的输入数据是他的坐标：{|G0(jomega;n)|; ϕ0= arg G0(omega;n)}。把它们代入式（15）和式（16）中，下面的等式用来获得PID控制器参数

可以看出（26a）的增益裕度与PID控制器参数整定时同时变化以保证系统的稳定性。

定理1.一种PID鲁棒控制器稳定的充分条件

考虑不确定的连续时间稳定动态系统的非线性不确定性描述，如果标称闭环系统是鲁棒稳定的，在控制器作用下的闭环系统是鲁棒稳定的，并且

GM是需求增益裕度，omega;n是激励信号频率，chi;L是因素，RG(omega;n)是奈奎斯特曲线在omega;n的半径。

证明

根据图6所示可以轻易证明。如果额定开环系统L0(s) = G0(s)GR(s)是稳定的，那么根据奈奎斯特稳定判据，如果L0和点(minus;1,j0), i.e. |1 L0(jomega;n)|的距离大于ML环的半径RL(omega;n)，不确定系统的闭环环节将会是稳定的

omega;n是正弦信号平均频率。对于一组数据，距离|1 L0(jomega;n)|是一个互补距离|0,L0| = |L0|，因此

从PID控制器整定思想规则中可以看出鲁棒控制转移了系统频率响应G0(omega;n)的额定点关于复平面的负半轴。因此，幅值裕度|L0(jomega;n)| = |G0(jomega;n)||GR(jomega;n)| = 1/GM在|GR(jomega;n)| = 1/[GM|G0(jomega;n)|] RG和RL= |GR|RG半径范围内，显然

图7. G30(jomega;), G3N(jomega;), L30(jomega;), L3N(jomega;)的奈奎斯特曲线图，需求表现eta;max0= 5%和tau;s0= 12

ML环的半径RL可以通过下式计算

将式（30b）和（31）带入鲁棒控制器稳定条件（29）中，并且考虑安全因素chi;L，下面的不等式成立

该式在一些变换以后与证明条件（28）相同，使chi;L= 1.2，根据鲁棒控制稳定条件，选择的GM值代入到（26a）中，之后PID鲁棒控制器参数从（26）和（27）中得到。在下面的例子中，所提出的方法的设置进行了广泛的说明。

6. 所提出的鲁棒控制器设计方法验证

例如如下含有不确定零点的不确定系统

含有参数K3, T3和额定值plusmn;15%范围内的alpha;3；G30(s)是一个额定模型。对于上述系统，设计鲁棒PID控制器来确保在最大过冲eta;max0= 5%和最大滞后时间tau;s0= 12对于模型（34）和该系列G3(s)的稳定性（鲁棒稳定）。

1. 额定模型临界频率的测量是omega;c= 0.0488 sminus;1，从额定闭环理想结果需求来看可以得到结果ts= tau;s0/omega;c= 12/0.0488 = 245.9 s。
2. 为了获得期望理想结果(eta;max0,tau;s0) = (5%,12),增益裕度和激励频率被选择为(GM,omega;n) = (18 dB,0.65omega;c)应用图5中“粉色”B抛物线和（34）alpha;30/T

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