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外文文献翻译

题 目 非线性系统的滑动扇区设计

非线性系统的滑动扇区设计

摘要：这篇文章的主要介绍了一种可用于减少抖动的滑动面扇区设计的新方法。这种新方法能根据以下关键理念进行系统的设计：首先，张量积（TP）模型转换能够分解扇区；此外，它能够定义一个基于高阶奇异值分解（HOSVID）的规范扇区系统。它是扇区滑模控制、线性系统的经典流形设计和对一类广泛的非线性系统的基于HOSVID的规范描述的部分组合。最后，通过一个基于数字信号处理（DSP）控制的单自由度运动控制系统得到了的实验结果。

1.介绍

变结构系统的滑模控制在鲁棒控制领域有着特殊的作用。一方面，滑模的精确描述需要先进的数学，这是由Filippov在六十年代初建立的。另一方面，它在大部分工程系统中和容易实现，大多数情况下一个简单的继电器是很有必要的。在控制设计问题中滑模的主要作用是减弱高度耦合的非线性作用和降低对系统未知参数变化造成影响的敏感度。

研究滑模控制的初始工作是查阅在机器人控制、电机驱动控制和电力电子领域的研究论文，因为它们是典型的变结构系统。目前，对于工程系统，滑模控制是一种最流行的鲁棒控制方法。然而，虽然滑模控制在闭环系统的理论预测中效果很好，但是一些研究表明滑模在实践中有局限性，它需要高采样频率来减少滑模流形的高频振动现象（振动）。在大多数设计滑模的实验工作中，通常把花费在理解滑模控制的理论基础上的时间尽量减少，而把大量精力投入到减小振动的经验技术中。

滑动扇区是由Furuta和Pan、Suzuki等人提出的一个降低抖振的有效方法。另一种滑动扇区的方法是由Xu和Korondi等人提出的。他们都有价值但不能被系统地使用。线性系统的系统化滑动流形设计由Utkin等人提出。这很有趣但主要的挑战是非线性系统。一个新的基于HOSVD的对广范非线性系统的规范描述由Baranyi提出。它使非线性系统的系统控制器设计成为可能。

本文中所提的新的滑动扇区设计方法使得基于张量积模型转换能够分解扇区这一关键想法的系统设计变得可行，此外，它还定义了一个基于HOSVD的规范扇区体系。这是对Korondi等人的扇区滑模控制、Utkin的线性系统经典流形设计和Baranyi的基于HOSVD的对广范非线性系统的规范描述的部分组合。新的设计方法的基本步骤是：

1. 用凸张量积模型描述线性变参数（LPV）系统（用了Baranyi的张量积模型转换）。
2. 为张量积模型的每个元件设计一个滑动表面（用了Utkin的系统设计方法）。
3. 从上一步定义的表面中构造滑动扇区。
4. 为基于滑动扇区的张量积模型转换选择一种基于张量积模型转换的控制规律。

2.基于张量积的模型转换

本节讨论张量积模型的原理。考虑一种参数变化的动态系统

(1)

输入，输出，状态变量。这个系统矩阵

(2)

是一个变参数对象，其中是时变的n维参数向量，也是封闭空间中的元素

。参数包含一些元素。

张量积模型转换从所给的LPV模型（2）开始。首先在超矩形网格上进行数值离散化处理。系统在离散点处已知，离散点之间需要插值处理。下一步是通过高次奇异值分解简化离散模型（见Baranyi [2004], Petres [2004]），这促成了张量积模型表现为：

(3)

其中是加权系数，

(4)

和有一些选择，从现在起要用规范形式，此时

(5)

更多的张量积模型转换的细节参考Baranyi [2004]，Petres [2004]。

3.线性系统的滑模设计

滑模控制器的设计包括三个主要步骤。首先是滑动面的设计，第二步是设计控制律，使系统轨迹保持在滑动面上，第三个关键步骤是无抖振的实现。

考虑了线性定常（LTI）系统，首先参考信号是连续信号和0。讨论了单输入多输出系统，对(6)的维数进行了修正。

(6)

在切换面上，控制向量组件具有不连续性，其切换面，即滑模的可以这么表示（Korondi和Hashimoto [2000]）：

(7)

其中是面阵。

当滑模出现时（此时），滑动面的设计问题可以当作是对以下子系统的线性状态反馈控制设计：

(8)

在(8)中，可当作子系统的输入。子系统的状态反馈控制器给出了整个变结构系统的切换面。在滑模中，

(9)

基于状态反馈的各种线性控制设计方法适用于（9）开关表面的设计。主要的问题是这种方法不能应用于非线性系统，这是主要的挑战。该解决方案可以是张量积模型转换。

3.1控制律

为了确保系统保持在滑模状态（），应该控制使得

(10)

滑模最简单的控制律是这一继电器：

(11)

这很容易用电力电子电路实现。继电器式控制器可直接控制半导体开关元件，但不能保证整个状态空间的滑模存在，相对较大的M值是必要的但可能引起严重的振动现象。如果控制器的采样频率几乎等于半导体开关元件的最大开关频率，则该控制律是可取的。

如果滑模存在，那么就有连续控制，一种可以使系统保持于滑动流形的所谓的“等效控制”。可以通过以下方程计算：

(12)

可从(13)中得到：

(13)

在实践中，对整个系统及其参数还没有完善的认识，只有的估计值可以计算出来。由于不能在大体上保证收敛到一般的切换流形，通常对增加一个不连续项。

(14)

控制律（14）不直接控制半导体开关元件，需要额外的PWM。通常情况下，这是没有问题的，因为半导体元件的开关频率可以大大高于最快的数字控制器的采样频率。

图1 滑动扇区（n=2）

3.2无抖振实现，扇区滑动模式

基本滑模控制中的抖振本质上是由于系统状态必须保持在开关面上的要求。显然，这种要求太严格了，只有有限的交换频率满足要求。用滑动扇区替换交换面能使系统状态运行的更加连续。

为了实现所提出的方法，首先定义两个滑动面

(15)

然后，两个滑动面将整个状态空间划分为三个区域，定义为

这里的区域就是滑动扇区。

提出的改进滑模控制方法的控制策略是

(16)

其中是连续的等效量，被定义为：

(17)

如图1所示，我们用以下表面来代表扇区

(18)

所提方法的鲁棒性：提出的滑动扇区的稳定性可以由以下李雅普诺夫函数检验

(19)

其中是滑动扇区的中部，为了定义，的值必不可少。在扇区外（在和中），根据(13)和(17)，

(20)

根据(20)，在扇区外总是为负

(21)

这表明系统轨迹在有限时间内进入扇区。在扇区内，

(22)

由于表明，扇形滑模继承了经典滑模的最重要特征。注意，在扇区的边界处

(23)

当系统状态接近扇区的中间时，不连续项的绝对值越来越小，从而保证了无抖振的实现。

4.基于张量积变换的滑模设计

鉴于（1）的形式，滑动扇区设计方法能够推广到非线性系统中。首先把它转换到（3），为每个系统设计一个滑动面。

(24)

三个区域的定义可以用下面的方式加以扩展

(25)

这里的区域是一个滑动扇区，图（1）的情况。

（17）的一个改良版得到了运用

(26)

其中是基于等效控制估计的一个前馈补偿项，是一个来抑制系统参数变化和扰动的开关项。

(27)

其中是滑动扇区一个适当选择点处的值。有以下三种情形：

（1）非线性只在子空间（8）内

（2）非线性只在子空间（8）外

（3）非线性既在子空间（8）内又在外

图2 实验系统

图3 系统结构

这里只讨论第二种情况。滑动面这样设计：

(28)

其中为每个系统按照式（13）计算：

(29)

注意，不是真正的等效控制信号，(28)自己不能确定滑动面。

5.应用

实验系统包含了采用编码器反馈的常规直流伺服电机和由相对刚性轴耦合的可变惯性负载，如图2所示，该结构见图3。控制器采用DSP作为计算引擎来实现。

5.1系统方程

在控制设计过程中，采用了一种降阶模型，忽略了电枢自感和轴的灵活性。状态变量是轴的位置和轴角速度，控制信号是电机电压。质量的影响是一种扰动。从系统额定参数计算出的模型如下（忽略摩擦）：

(30)

与电动机相连的谐波齿轮有较大的摩擦。按如下方式建模，库伦摩擦有非线性特性：

(31)

其中是原线性系统的控制信号。对（31）中的控制信号进行校正的第一部分是靠经验，解释起来了很简单。库仑摩擦力矩与电机的输入电压无关。如果输入电压很小，库仑摩擦的影响就比较大，当你增加电机电压的绝对值时，库仑摩擦的影响变得越来越小。由于张量积模型的转换，第二个（动态）项是必要的。在matlab里有一个张量积模型变换的工具箱，这个工具箱也提供了从http://tptool.sztaki.hu/下载文件和示例的功能。

如下的系统矩阵

(32)

其中

(33)

参数向量是

(34)

由于使用了等距采样以及采样密度必须在零电压附近，采样区间应该为137个网格点。取样系统被排列成一个张量

(35)

其中的张量只有两个奇异值（1061.6和31.7，这就是为什么上述非线性系统可以被两个线性系统模拟：

(36)

以两个加权系数作为控制的函数如图4所示。

5.2滑动面设计

由于使用了一个二阶模型，滑动的“表面”是一个滑动线，在(24)中，可以用标量参数描述。

(37)

由(13)和(30)得，

(38)

其中的值可从(36)中读取。一个方程不能确定两个参数。为了满足两种系统的快速响应和振动抑制，滑动面是经过精心设计的。我们在=15这一值周围选择扇区。根据(38)，也可以接受。用以下方式选出，即满足

。

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