迭代平方根无迹卡尔曼滤波在采用TDOA测量的机动目标跟踪中的应用

摘要：本文提出了一种涉及一个复杂的机动目标的预测，用以提高无源雷达目标跟踪系统的到达时间差（TDOA）跟踪性能。由于复杂的操作和高实时性的要求，造成较大的误差，定位跟踪系统将承受沉重的计算负荷。在这项研究中，我们利用总最小二乘法计算复杂机动目标的初始位置，降低初始跟踪误差。基于当前统计模型和方面向对象的无迹卡尔曼滤波提出了迭代平方根无迹卡尔曼滤波（ISRUKF）并且迭代终止准则被用于减少整个迭代过程的线性度误差。最后，比较仿真结果证明了该方法的有效性和适用性。

关键词：迭代终止准则、机动目标跟踪、平方根Unscented卡尔曼滤波，到达时间差，总体最小二乘法。

1. 引言 被动定位与跟踪近年来得到了广泛的研究. 到达时间差（TDOA）无源系统，也被称为双曲线定位系统，是无源定位系统中最重要的种类。该系统具有远程、准确、隐蔽、抗干扰等优点。定目标于三维情况通过处理四个或更多站点到达时间差测量结果。在各站的测量被发送到一个主站处理。因为时差的非线性测量和目标是普遍的可操作性。因此，对于TDOA跟踪系统，应当研究一种机动目标跟踪的非线性过滤。 TDOA定位方法和定位精度有过讨论 [2]. 有许多基于TDOA的定位方法，如泰勒的扩张（TE）方法，两级加权最小二乘（使用）法、伪线性方程（PLE）的方法和些来源于这些方法的改进方法。 本文主要关注的是TDOA无源跟踪系统的机动目标跟踪。 无迹卡尔曼滤波（UKF）进来在处理非线性问题上有着突出的表现。UKF算法的更新操作是通过设计少量的sigma;点和经由非线性函数计算sigma;点的传播实现的。由于数值舍入误差，状态协方差矩阵可能是负定的，当用一个平方根的协方差来计算sigma;点时导致UKF算法失败。[9]为了防止这种可能性，协方差矩阵的平方根可以直接计算在每一个时间步长，不使用实际的协方差矩阵。Cholesky因子的有效利用可以比正常的UKF算法有更好的性能[10]. 在平方根无迹卡尔曼滤波（SRUKF）算法中，协方差平方根取代了协方差的地位。因此，SRUKF具有更好的数值特性，并保证半正定性的基本状态协方差比UKF好。

这项研究中，我们考虑一个极为复杂的机动目标进行TDOA被动跟踪系统。由于系统的初始状态误差和系统的弱能观性，传统的UKF及SRUKF算法在鲁棒性、收敛速度和跟踪精度中表现出弱点。 [11] 迭代扩展卡尔曼滤波（IEKF）是通过提供基于高斯牛顿迭代的一种新的测量更新修改，从而降低了线性度误差，提高了滤波性能。 受IEKF的发展以及UKF的优越性的启发， 一种迭代无迹卡尔曼滤波方法被提出。 [12].高斯牛顿的方法能保证全局收敛性， 但它不能保证似然曲线的实现。本文提出一种新的迭代算法（isrukf SRUKF）处理这种情况。在该算法中，迭代终止标准用来减少整个迭代过程的线性度误差， 可避免迭代终止的阈值缺点。 由于迭代过程是一个近似的最大似然估计的过程，ISRUKF 可以通过有效地利用测量信息近似最优状态估计。仿真结果表明，该算法优于传统的算法。

1. 定位原理

为了在三个维度上定位一个目标，一个无源时差系统必须至少有四个站点。接收来自三个从站的测量必须被发送到主站，其中估计计算时间差和位置。新的TDOA定位系统由四个地面站部署在一个矩形的形状。图1所示的所有车站的部署。

假定目标状态向量的位置元素X (k) 是( x ( k ), y ( k ), z ( k ))，那些主站和从站是 ( x0 , y0 , z0 )和( x j , y j , z j ), j = 1,2,3。TDOA测距方程可以表示为

rj 表示目标和j从站之间的距离，tj0表示jth站和主站之间的距离差，tj0表示tj0对应的时间差和电磁传输速度。

测量方程描述如下

V(k)是测量噪声序列的零均值和方差的R(k)。

方程（1）可以转化为

方程（3）可以用矩阵形式写成

总体最小二乘法（TLS）是用来解决（4）。让增广矩阵B = [A b]，然后利用奇异值分解（SVD）的矩阵B，收益率

其中uj是第j列矩阵U，VJ是第j列矩阵V，sigma;J对应的奇异值，并依次，sigma; 1 ge; sigma; 2 ge; sigma; 3 ge; sigma; 4 ge; sigma;5。

TLS解xtls可以得到

V5是最小奇异值sigma;5对应的右奇异向量，V5（i）是第i个元素V5，i = 1，4。

估计的位置将作为跟踪初始化被送到isrukf算法。

1. 基于ISRUKF的跟踪算法

3.1. 跟踪模型

实际上，机动目标通常不会以稳定的速度运动，也不能以恒定的加速度运动， 因此，一个合理的和精确的运动模型需要建立。在本文中，当前统计（CS）模型作为目标的运动模型[16,17]。当目标以加速的速度移动，其加速度值在下一个时间步长将是有限的且在当前加速度的邻域内。

离散状态方程的CS模型描述如下

X ( k ) = [ x ( k ) v x ( k ) a x ( k ) y ( k ) v y ( k ) a y ( k ) z ( k ) v( k ) a z ( k)]T表示状态向量 x ( k), y( k ) 和z ( k)是沿x，y和z方向的目标位置

v x ( k)，v y (k )和 vz(k)是目标速度

a x ( k)，a y ( k)和 az(k)是目标加速度

F ( k 1, k）是状态转换矩阵

alpha;( k)是当前加速度的估计值

G ( k) 是控制输入矩阵

过程噪声w( k)被认为是零均值的白高斯噪声序列伴随协方差矩阵 Q ( k)

矩阵F ( k 1, k),G ( k) ,alpha;( k)具体如下

alpha;x, alpha;y, alpha;z 是机动时间常数的倒数， T是采样间隔。

3.2 标准SRUKF

在SRUKF算法中，协方差的平方根取代协方差，当计算协方差矩阵时，SRUKF只需要UKF需要的一半字长，这使得在实践中，SRUKF克服协方差矩阵的病态问题。因此，相对于UKF，SRUKF有更好的数值性质，同时保证半正定性基本状态协方差。SRUKF算法给出如下

步骤1：参数初始化

步骤2：计算西格玛点

步骤3：时间更新方程

步骤4：测量更新方程

Wi 是一组标量权重，W ( m)= lambda; /( N lambda;)，W( c)= lambda; /( N lambda; ) (1 minus; alpha;2 beta; ), Wi ( m )= Wi ( c )==0.5 /( N lambda;), lambda; = alpha; 2 ( N kappa; ) minus; N是缩放参数。恒定的alpha;决定了x周围sigma; 点的传播速度，通常设置为1Eminus;4le;alpha;le;1，x是次要的缩放参数。beta;是用来将先验知识x的分布（对于高斯分布， beta; =2是最优）。 chol 是Cholesky分解， qr是QR因式分解，cholupdate是Cholesky分解的一阶更新。

3.3 ISRUKF算法

对SRUKF当前状态的估计涉及的上一次状态估计和现行措施。在每一个时间步长，目标跟踪对干扰敏感。众所周知，SRUKF成功的关键是sigma;点的选择。因此，如果sigma;点重新计算基于一个更好的状态估计，跟踪精度可以提高。最优先验状态估计通过迭代更新的线性测度方程可以实现。

有很多不同的迭代终止准则。常用的迭代终止准则是基于一个预定义的阈值

Vth是预定义阈值。但是，选择一个合适的阈值并不容易。因此，本文提出的是一个带有最大似然迭代的迭代SRUKF。

给定的最大似然估计为

假定q( X 1( k )) lt; q( X ( k)),然后q ( X 1( k))将比q ( X ( k))

接近最大似然。X 1( k)将比 X ( k) 更接近最佳的解决方案。从（27），我们可以得到

方程（28）是迭代终止条件。

ISRUKF和SRUKF之间唯一的区别是所有的SRUKF被反复重新评估同一测量时间。因此，影响整个迭代过程的初始估计误差可以减少。

ISRUKF算法可以得出如下：

步骤1：使用（8）-（24）计算状态估计X(k)和对应的协方差矩阵P(k)。

步骤2：迭代滤波

(a)使用（8）-（9）重新采样的西格玛点

（b）计算的西格玛点和测量日期以同样的方式（13）-（24），状态转换方程（12）是不需要在这一步。

如果（28）是满意的，迭代终止，否则，它继续。

步骤3：输出最后的迭代向量

1. 仿真与结果

考虑一个高度机动的空中目标轨迹。UKF、SRUKF与ISRUKF是使用相同的飞行轨迹进行评估和比较。目标使双圆变为直线段连接它们. 目标初始位置（29.8km，35公里，10公里），采样率是t = 1秒。

轨迹段被定义如下：

第一段，T = 1-15s,以恒定的速度飞（-150m/s, -100m/s, 0m/s）。

第二段，T = 16-40s, 逆时针旋转任意初始加速度 (10m/s 2 , 5m/s 2 , 0 m/s 2 ).

第三段，T = 41-65s，恒定线性飞行。

第四段，T = 66-90s，顺时针旋转与任意初始加速度(-10 m/s 2 , -5 m/s 2 , 0 m/s 2 ).

第五段，T = 91-100s， 恒定线性飞行。

操纵目标飞行轨迹如图2所示.

地面主站点位于(0,5km,0.6km)和其他三个地面站分别位于(5km,0,0.015km), (-5km,0,0.09km), (0,-5km,0.025km)。 测量到达时间的方差是tsigma; =30ns. 图3为几何 精度(GDOP) TDOA定位. 这是可以看到的单元定位精度小于0.07km。初始状态times;（0）可以通过使用（6）计算两步外推算法。初始状态估计误差协方差是

过程噪声协方差是

alpha; x = alpha; y=alpha;z=5， sigma; x2 , sigma; y2 , sigma; z2,是目标加速度在x，y，z方向的协方差。

sigma; x2 ，被定义为

表1.比较三个不同算法下均方根误差和运行时间

算法	位置（米）	速度（米/秒）	运行时间（/秒）
UKF	276.6142	75.9403	0.1746
SRUKF	163.3576	59.6939	0.2269
ISRUKF	118.0377	50.5230	0.4002

UKF, SRUKF和ISRUKF跟踪性能经过100蒙特卡罗模拟比较。所有算法使用个人电脑实施（Windows XP专业版2002，英特尔酷睿CPU 2.93GHz，3.0gb RAM，MATLAB 7.1编程环境）。最大迭代次数为2。图4-9分别显示三种算法的目标位置和速度估计误差。均方根误差（RMSE）和目标位置和速度的运行时测试的结果三种算法都显示在表1中。ISRUKF的总位置跟踪误差相比SRUKF和 UKF分别减少了27.24%和57.32% 。SRUKF的速度跟踪误差相比SRUKF和 UKF分别减少了15.36%和33.47% 。在仿真中，一般的终止准则被满足后，只有1-2次迭代，这意味着该ISRUKF计算成本平均大约是SRUKF的两倍，与表1结果相一致。

从图4-9我们很清楚的看到，提出的ISRUKF算法比其他所有过滤器有更快的收敛速度和高跟踪精度。ISRUKF能通过测量信息的有效利用近似最优状态估计，且ISRUKF的迭代终止准则可以有效终止迭代。没有动作，三种算法的性能几乎是相同的。然而，在目标机动期间，ISRUK比UKF, SRUKF明显具有较高的跟踪精度。

1. 结论

在这项研究中，提出ISRUKF跟踪算法运用新状态初始化和采用TDOA测量的迭代终止准则机动目标跟踪。TLS方法用于启动机动目标跟踪与新的迭代测量更新方程和和迭代终止准则的派生，来降低整个迭代过程ISRUKF线性误差。蒙特卡洛仿真结果验证了所提出的ISRUKF算法

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