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1. 介绍

结构上的波浪爬高现象是一种高度非线性的现象，这可能会导致海上结构的以外损坏。设计海上结构时要求准确的预测波浪爬高的最大值，来确保甲板与海面只间有足够的间隙。因此，在海上平台以及海上风电站日益增多的背景下，对于波浪爬高的调查变得越来越重要。

现在，圆柱桩已经广泛地应用在沿海以及海上建筑的基础当中。在一些经常有飓风、台风以及地震的危险海域，桩基础可能会遭受到巨大的冲击荷载，而在垂直桩上巨大的波浪爬高会导致甲板上有很大的压力载荷甚至会在甲板上掀起波浪。因此，研究非线性波浪在圆柱形桩上的爬高问题对于海上结构的设计具有重要的意义。

波浪在流经潜水障碍物时的非线性绕射理论已经被研究是十几年。基于拥有完整的非线性特性，孤立波常被用来研究波浪在通过结构物时的非线性绕射。以前的研究中，人们关注的重点主要是孤立波作用在结构物上的波浪力。艾萨克森（1983）采用边界积分方程法处理孤立波经过垂直圆柱桩的情况，并利用以格林公式为基础的积分方程计算圆柱桩上的波浪力。陈（1989）等人提出了一个半解析频谱用于解决类似的问题。王（1992）等人研究的三维散射孤立波与垂直圆柱在潜水中相互作用的数值模型的基础是布式方程模型，利用这个模型，对于圆柱桩上的波浪力以及波浪散射的变化进行了数值计算。耶茨和王（1994）也进行了孤立波与圆柱桩相互作用的实验，实验结果同样给出了波浪爬高以及作用在圆柱上的波浪力的数据。Basmat和齐格勒（1998）利用二阶的布式方程处理孤立波对于直立圆柱结构的绕射问题，给出了更多更为准确的受力结果。大山（1990）用时间有限元法来改善现有的边界有限元法，研究孤立波与大尺度圆柱桩的相互作用。

近年来，很多数值方法被应用来解决非线性波绕射问题。Mo（2007）等人提出了一个三维模型用于计算不破碎的波浪对于竖直桩的波浪力。数值模型的基础是用有限体积法（FVM)求解欧拉方程以及通过流体体积法（VOF）法求解自由表面。赵（2007）等人提出了对于孤立波与圆柱相互作用的散射问题的数值模拟。有限元法（FEM）被用来离散广义的布式方程。周和王（2008）提出一个时间精确的稳定的有限元模型，来讨论非线性波衍射问题，其中孤立波和圆柱相互作用的问题被作为一个算例研究。宁（2008）等人通过求解笛卡尔切割单元格的布式方程来研究海工结构与非线性波相互作用的问题。上述大多数例子的依据都是势流理论或忽视了液体的粘滞效应。随着计算机技术的发展，雷诺平均N-S方程模型在解决海洋工程水动力学问题方面越来越流行，因此我们需要更多结果附近流场的细节，特别是液体的粘滞效应。

本文提出的对于孤立波在垂直圆柱上的爬高的数字调查是在粘性数值波浪水池（NWT)中进行的。流体的粘性效应被考虑在内，模拟出的波浪爬高以及波浪力的结果将于实际实验的结果进行对比，流场的具体情况，包括速度、压力以及涡流会拿出来一一分析，从而提高我们对于孤立波与垂直圆柱相互作用这一问题的认识。

1. 数值模型

本文将利用被称为naoe-FOAM-SJTU的CFD模拟器进行模拟，该软件专门用于解决近海及海洋工程水动力学中的不可压缩粘性两相流问题。这个求解器由OpenFOAM-2.0.1的框架编程而成，以RANS方程为控制方程，以VOF方法处理自由表面。此外，数字波发生器以及阻尼区加入到一个完整的NWT模块中，该模块可以生成各种类型的波，例如普通波、不规则波以及孤立波。这个求解器还有6自由度的运动模块以及锚泊系统模块来模拟各式各样的漂浮单位。

2.1 控制方程

假定水喝空气是两个不可压缩的粘性牛顿流体，雷诺平均方程被用作控制方程，它的表达式如下：

其中，代表流体在第i个方向上的速度，P代表压力，代表流体的密度，g代表重力加速度，代表瞬时加速度，，代表分子粘度，代表涡流粘性。

2.2 SST 紊流模型

我们使用的是蒙特剪应力传输（SST)紊流模型（蒙特 1994）其中湍流动能k与能量耗散率的关系是：

其中是谐波函数，表达式如下：

是湍流运动粘度，的计算式是：

d是区域点到最近的墙之间的距离，是涡幅度。其他常量分别是：。

2.3 VOF理论

如今，人们提出了许多方法来跟踪以及捕获多相流的接口，其中包括区域标记法（MAC），VOF法以及水平集方法。其中VOF法是最受人们欢迎的因为它有如下优点：良好的质量守恒，计算效率高而且操作简单。如今，VOF法被广泛的应用在工作中，其中的体积分数的定义式是：

同时，体积分数alpha;还需要满足如下的方程：

其求解过程应用了VOF法的有界压缩技术（鲁舎，2003），而自由表面必要的压缩是通过引入一个额外的压缩方程实现的：

其中，由于存在（1-alpha;）alpha;这一项，压缩期限只受到表面的影响。是适用于压缩界面处的速度场，可以用如下方程得到：

式中n是接口上的单位法向量；是用于控制压缩强度的压缩系数。

密度和速度是由体积分数alpha;决定的：

式中分别代表水和空气的密度，速度的下标表示与密度的相同。

2.4 初始和边界条件

一个矩形的计算域被选作NWT模型，固体墙壁施加的是无滑移边界条件，壁函数的规律被应用到紊流模型当中。侧壁施加的是对称边界条件，用来减小波浪的反射。出口处施加零梯度边界条件。由于我们利用VOF法追踪自由表面，就没有必要设置运动学的动力学自由表面边界条件了。

在模拟的初始阶段，空气和水都是静止的。静水压力在计算域初始化。空气的体积分数是0，水的体积分数是1。边界条件中入射波的对应参数以及水中质点的速度是根据波浪理论求解出来的。

2.5 压力速度耦合

PISO算法是由Issa（1986）提出的，用来求解N-S方程中的压力速度耦合问题。这种方法使用一个预测步骤和两个校正步骤来获得准确的流速以及压力，从而得到稳定的结果，特别是在计算不稳定流速问题时。

2.6差分格式

RANS方程以及VOF运输方程由有限体积法进行离散，利用隐式Euler法进行时间离散，二阶TVD线性方案被施加到RANS方程的对流项中，二阶中心差分法被施加到扩散项当中，Van Leer法用来求解体积分数alpha;。

1. 数值结果与讨论

在本章中，介绍了对于孤立波作用在竖直圆柱上的爬高这一现象的数值模拟，改变孤立波波高以及圆柱体半径，计算出波浪爬高的最大值，并将计算结果与实验结果进行比较。自由表面涡旋场的变化也拿出来进行分析。

3.1 计算方法的验证

首先，孤立波与垂直圆柱状相互作用的模型模拟到验证模块NWT，将波浪爬高的最大值的数值模拟结果与实验值进行比较，通过分析在入口处生成指定的孤立波，孤立波的表面轮廓和水粒子的速度可以由表达式给出，表达式如下：

式中H代表波高，h代表水深，x代表孤立波波峰的位置，c代表孤立波的传播速度。

矩形计算域被选作NWT模型，长20米宽0.12米，坐标系的原点在水面与入口边界相交的地方，x与z分别是两条垂直的坐标轴。波深度h=1.0米，计算域由200*68个六面体单元组成，其中在y方向只有一个。孤立波波高不同的模型相继进行计算，波高H控制在0.05米到0.65米之间，波浪从左到右流过整个水池，直到流到附有无滑移边界条件的墙壁处。

几个波浪测点分别被布置在x=6m,8m,10m以及12m的地方，用来记载模型的自由表面高程，图1展示了在x=6m处的自由表面高程的数值模拟结果与实验结果的比较，可以看出NWT孤立波模型精准度很好，尚书左右测点记录的数据与时间的图像如图2所示，不难看出孤立波的轮廓与波高在传播的过程中保持稳定。

图3展示的是波浪爬高的最大值，根据来自Maxworthy（1976）的实验数据，以及Byatt-Smith（1971）的研究结论，爬高的最大值可以用以下的公式给出：

由这个公式可以看出，我们数值模拟的计算结果与实际实验的结果是吻合的。然而，对于H/h大于0.5的大尺度模型，结果具有很强的非线性，不满足这个公式。

图4显示的是波高0.5米的孤立波的轮廓随着时间变化的图像。表示的是最大波浪爬高发生的时间，我们可以看出，在经过垂直墙面以后孤立波的高度明显减小，这是因为波浪反射后的粘滞效应以及波能的耗散。

3.2 孤立波与圆柱的相互作用

本节将研究孤立波与圆柱的相互作用，波浪力和波的爬高按照波高不同进行讨论，模型例如图5所示，计算域的参数是：0 m le; x le; 30 m, -10 m le; y le; 10 m, 以及-1.0 m le; z le; 2.5 m。水深是1米，圆柱在水池中线上距离入口10米处，半径1.5875米。数据与Yates以及王（1994）年做实验的数据一样。

图6展示的是网格的划分，为了计算结果的准确，要对自由表面附近的z区域进行加密。Z方向最小的网格尺寸是0.01m，总共有约24万个网格。在模拟的过程中，时间间隔调制小于0.3，最大的时间间隔小于0.02秒，初试时间为0.001s.

计算模拟期间圆柱所受的最大的波浪力，将计算出的波浪力的结果与Yates，王（1994）以及赵等人2007年的实验数据进行比较，如图7所示，红点代表实验数据，虚线代表赵等人2007年有限元计算的结果，实线是我们用求解器算出来的结果。总体而言模拟的结果还是很准确的，美中不足的是反向的力稍大了一些，还可以看出，我们的结果比赵等人用有限元算出来的结果要好，尤其对于H/h=0.4这个模型。

为了得到波高以及在圆柱上波浪爬高的数据，几个波浪的测点都是布置在圆柱附近的。如图8所示，表示辐射角（在0度到360度之间），是逆时针方向的。两个相邻测点的连线与圆柱垂直面之间的夹角是22.5度，除此之外还有p1、2、3、4四个测点在辐射角为180度的地方，其连线与圆柱中心线的夹角分别是1.03、1.66、2.61、4.05度。

图9展示的是对于H/h=0.4这个模型，这四个测点记录的波浪高程随时间的变化，模拟的结果与实际实验的得到的结果相比尽管有一定的偏差，大体上来说还是比较准确的。其中1号探头记录的波高误差比较大。误差产生的原因可能是在圆柱的表面附着有粘性边界层，使得波浪爬高的数据变大了。通过比较我们可以知道，现在用数值模拟的方法模拟孤立波与圆柱的相互作用，其精度是比较高的。

图10反映的是辐射角由0度到180度变化的时候测点测到的波高的变化，有图像我们很容易看出，当辐射角等于1080度的时候波浪爬高值最大，而最小值发生在大约辐射角等于45度的地方。其次，我们还可以看出，当辐射角为22.5度，45度以及67.5度的时候，有明显的次要峰。而在辐射角等于0度处，波面变得几乎和波高一样了。

为了能清楚地看到散射的过程，自由表面的三维图像如图11所示。很明显我们可以看出在的时候发生了波浪的爬高。孤立波的波峰通过了圆柱，圆柱周围的自由表面震动了很长时间，波浪从圆柱反射向外传播。因此，波浪的散射场是围绕着圆柱的。

图12表示的是在=6.5到=14时间内散射自由表面的情况。散射平面的自由表面高程是以水池中心对称的。由于波峰已经通过了圆柱，因而在圆柱前面形成了一个低谷，其传播的方向与波浪的传播方向相反。

图13展示的是涡流场的图像。颜色表示涡流在x方向上的速度打变化率，在-1到1之间。由于孤立波的波峰已经通过了圆柱，所以涡旋场自由表面的流动十分剧烈。涡流在圆柱周围的水面上产生，然后向外移动并逐渐减小。

图14表示的是在不同的波高作用下，波浪爬高达到最大值的时候，圆柱表面的瞬时压力轮廓线，由图可以看出最大的压力产生在圆柱前侧接近自由表面的位置。此外，压力随着波高的增加而增加。

图15表示的是在圆柱附近波高以及波浪爬高的比值。可以看出，在波高比较小的时候（H/h小于0.4）波浪爬高的最大值随比值的变大而变大，但H/h大于0.4的时候增长的更快。当H/h大于0.6时，波浪爬高的非线性增加十分明显。这表明在波浪爬高的过程中存在比较强的非线性情况。

图16表示的是最大波浪爬高随着入射波波高改变的变化。可以看出，最靠近圆柱的测点测到的最大值发生辐射角等于180度的地方。两个最小值在辐射角等于45度以及315度的地方。但是，越靠近圆柱数值也就越大，爬高比在辐射角等于0的时候到达1.

进一步研究孤立波与不同直径的圆柱相互作用时的情况，分别选择半径为0.25,0.5,1.0,1.5875,以及2.0米。一般在入射波波高为0.4米的时候波浪爬高达到最大值。图17表示的是波浪爬高随着圆柱半径增大的变化。如果假设圆柱的半径是无限大的，就可以看做是孤立波对于一面垂直的墙的爬高。因此，可以由公式15得到无量纲波浪爬高的上限。

图18表示的是对于不同半径的圆柱进行波浪爬高的模拟时自由表面的侧视图的瞬时最大值。我们可以看出最大值总是在波浪的背面。在圆柱的背后产生了一个0.5米的凹陷。然而，凹陷的位置随着半径的增大而发生了变化。当半径大于一米时，圆柱附近就没有凹陷了，圆柱周围的自由表面高程和初始水面相同。

图

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