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悬索桥的初步分析

By Gregor P. Wollmann, Member, ASCE

摘要

本文以挠度理论为基础综述了悬索桥分析的基本方程的推导。提出了可以实际解决这些方程的方法，提供了市场上可以买到的数学分析程序或简单情况下的电子表格项目。该方法通过类比悬挂梁和梁之间的张力。一个伴随拉力梁的分析方法的表格，适用于负载情况下悬索桥的分析被提出来。在之前的演示中，这种方法已经扩展到解决对桥塔的刚度和加劲梁的连续性的影响。

介绍

在美国，悬索桥就像正在经历一场“文艺复兴”。位于加州的Carquinez桥正在建设（“第一”2000），东海湾桥正在最终设计阶段。在华盛顿，一座平行原塔科马桥的方案已经提出。在其他州，大量的桥型研究正在进行，而悬索桥也在考虑范围内。此外，美国悬索桥的老化和用途上的变化已经使得翻新和改造变得必要 （Spyrakos 1999）。

基于有限元理论，现代悬索桥一般使用计算机程序与非线性分析功能进行结构分析。这样的话，模型可能会有成千上万个自由度。例如， 在丹麦，一个拥有9780个自由度的球体有限元模型在东方大贝尔特海峡大桥的最终设计方案里呈现出来（East 1998）。显然，在某种意义上，需要更加简单的模型来帮助设计师理解结构特性而不是单纯的有限元分析。这样的模型对初步设计和独立检验更复杂的结构是有用的。

在以挠度理论为基础的前提下，本文回顾了悬索桥分析的基本方程的推导，提出了一种实用的解决方案的方法。这不适合手工计算的方法，可以很容易地在数学分析程序[比如Mathcad（1998）]或简单的情况下的计算机电子表格程序中实现。本文推导过程遵循彼得森 （1993）、鲁宾、沃格尔（1982）的所做的研究报告。然而，这种方法已经扩展到可以适用于弯曲桥塔刚度不可忽略不计的情况。这种利用悬挂梁和梁之间的类比张力的方法不同于 （Steinman 1929，1934； Timoshenko and Young 1965）等在美国文献中所提出的方法。本文包含了一个分析解决张力梁问题的表格。最后，用一个已经运行的例子来说明该方法。

加劲梁的基本方程

为了描述加劲悬挂梁微分方程的推导，作出以下假设:

1.恒荷载（自重和静载叠加）是统一的，仅由主缆承担。

2.在静载下作用下主缆线形是抛物线。

3.吊索是沿着梁连续分布并不能扩展的。

4.吊索最初是垂直，并保持垂直负载。

5.每跨加劲梁的刚度是恒定的。

在假设2的情况，使用符号如图1所示。恒载作用下的主缆几何形状如公式（1a）-（1 c）

（1a，1b）

（1c）

式中：y——主缆在恒载作用下的纵坐标；

----主缆在恒载作用下的斜率

——主缆在恒载作用下的曲率。

由假设1和（1 c）的基本关系可得主缆在恒载下：

（2）

（3）

式中：g表示统一恒载，包括主缆的重量。

表示恒载作用下主缆的水平分力。

图2显示了在恒载和活载分别作用于加劲梁和悬索的。从描述悬索在图2荷载作用下的微分索单元的平衡条件可得：

（4）

式中：表示活载和温度荷载作用下的主缆水平分力；

p 表示活载；

s 表示活载作用下吊索的垂直分力；

w 表示活载作用下的主缆挠度，按照假设3等于梁挠度；

表示活载下加劲梁的曲率。

重新整理公式（4）可以得出以下吊索索力的表达式:

（5）

图1. 主缆线形

1. 作用于主缆上的荷载
2. 作用于加劲梁上的荷载

图2. 作用于主缆和加劲梁上的荷载

如图2（b）中所示的荷载的微分方程画出了连续梁为刚度EI ，由假设5

（6）

式中梁挠度函数的四阶导数

将（2）（5）代入（6）再整理可以导出加劲梁的基本方程：

（7）

等式（7）类似于在横向荷载作用下描述梁轴向拉力。这个类比正如图3所示

（8）

其中N为轴向拉力（）；

q 为横向荷载（）。

在给定的边界条件，（8）式可以求解出挠度w，随后即可求出：斜率，弯矩剪力。图4列出了在悬索桥分析中，受轴向拉力的简支梁在各种荷载工况下的公式。该表格是改编自彼得森（1993）和鲁宾、沃格尔（1982）。无量纲的方面提出了解决方案坐标。加劲梁的的性能是由参数ε表示的，下面给出的：

（9）

图3 张力梁的类比

图4受轴向拉力梁的公式[改编自Petersen（1993）、Rubin、Vogel（1982）]

主缆的变形协调方程

为了验证图4中公式的正确性，主缆内力必须是已知的。确定这个力的条件由变形协调要求来提供，由于活载和温度变化造成的主缆长度的变化水平投影等于主缆端点之间的水平距离的变化（图5）。

（10）

图5 主缆的变形协调条件 图6 微小索单元的变形

式中表示一个微小索元素在主缆方向上长度变化的水平投影；表示主缆端点的水平位移。由的表达式可以推导出把索单元的长度（拉伸量从原来的位置旋转角度（图6）。与图中所示的几何关系获得：

（11a）

（11b）由于，（11）可以简化为：

（12a）

（12b）

在，（12b）可以通过移除包含的项进一步简化。在（12a）中与具有同一数量级，因此含有项的移除不是那么显而易见。然而，如图7所示，在给定下，绘出对值的曲线，精确结果和近似表达式求出的结果几乎没有差距。因此可以把上式写作：

（13a；13b）

图7

从上式子中消除可得：

（14）

由活载和温度变化引起的主缆伸长如下所示：

（15）

式中为主缆刚度；

T为主缆中的温度变化值；

为材料的膨胀系数。

联立（10），（14），（15）式以及得到下式：

（16）

上式的第一项可以近似化为：

（17）

（18a）

（18b；18c）

基本方程的通解

源自于上面的基本方程的应用与求解如图8的体系所示。塔的抗弯刚度可以用位于塔顶的弹性刚度为的水平放置的弹簧反映。同样，锚块的刚度是由弹性刚度为的水平放置的弹簧反映。锚块和塔的垂直变位忽略不计。

图8 理想状态下的悬索桥

考虑到桥塔的刚度，主缆的水平内力是由活载和温度变化引起的，对于每一跨来说，均不相同。主缆在恒载单独作用下的水平力假定为常数。通常情况下，可以确过适当选择恒载作用下主缆的几何线形和施工期间释放塔顶鞍座约束来实现。a点至d点的水平位移与活载和温度变化主缆水平力有关，由如下公式组成

（19a；19b）

（19c；19d）

对于每个跨度，将（19）代入（18 a）可以导出以下三个非线性方程，其中包含了三个未知量。注意到这些方程中的挠度w是未知索力的函数，因此不能代表一个额外独立的未知量。

（20a）

（20b）

（20c）

如果主塔刚度可以忽略不计，那么

（21）

对于这种情况，相容性方程[（18 a）]必须写成从锚块段到地锚锚块段所有主缆部分表达式的总和，这样就可以导出主缆未知水平力的单个方程，

（22）

注意到，把（20a）-（20c）相加可以得到相同的结果。而分母中不确定项在这个过程中抵消。例子中，基于辛普森的规则，采用数值模拟方法研究积分是最好的。

由于函数在图4表示的无量纲坐标的积分必须写作：

（23）

方程式（20）和（22）是非线性的，必须通过迭代解出。使用牛顿-拉富生迭代法求解过程如下:

1.首先给一个初始值，再根据所需的结果的准确性，选择合适的步长。

2.根据图4中给出的的表达式，以及给定的值求出挠度w。负载情况下考虑包括应用活载以及统一的负载直接向上由[（8）]。

3.根据（23）用辛普森迭代法求积分所示。

4.由（22）（24）式计算一个新的的逼近值。

（24）

式中：

5.在所需的精度下，重复步骤2-4直到接近0。

然而，利用内置商用的数学解算法分析程序就简单多了。例如，在忽略的桥塔刚度下对式（22）的迭代解可以用许多商用计算机电子表格软件求得（如使用Microsoft Excel中的“目标寻求”功能）。可以使用Mathcad中的“Solve Block”求解式（20）（Mathcad 1998）。Mathcad还有数值积分的功能可能替换式（23）中的辛普森积分。

对桥塔处连续加劲梁的处理可以很容易地整合到求解算法中。意识到悬挂梁特性是高度非线性的和而且叠加原理通常是无效的是很重要的，如果相同的主缆内力适用于所有负载情况，那叠加荷载单独作用时的结果也是允许的。因此，标准方法可用来确定一系列桥塔未知弯矩。加劲梁看作是铰接在桥塔。计入系数来消除外部荷载作用下铰处的转角的影响（图9）。在给定的值下可以得出以下的线性方程组：

（25a）

（25b）

式中：表示不确定的弯矩系数

。

图9 连续加劲梁

工程实例

下面用图（10）所示的工程实例来说明上述方法。加劲梁在桥塔处连续，在分析中考虑桥塔刚度的影响。假定端锚索是刚性的。荷载包括全桥均布的静荷载和仅左跨中心均布的活载。给出的实例不是通过迭代法求解的，而是先前的通过电脑运行已经确定的未知索力的检查。问题的例子是已在奔腾III550 - MHz PC上使用Mathcad程序（Mathcad 1998）求出，仅消耗了70秒。铰链式加劲梁运行时间是10秒。

图10 工程问题实例

为常数，主缆几何线性定义如下:

（27a）

（27b,27c）

（28a；28b）

（29）

悬索切角是

（30a；30b）

（30c；30d）

（27a）

由（18b）可以计算出主缆参数：

（31）

（32）

在式（31a）中，短锚长度的影响涵盖在的表达式中，假设主缆的水平分力在锚长度和邻边是恒定的。事实上，对于大多数悬索桥来说，主缆总合力在鞍座最后排是不变的。因此对于不同的锚长度和跨径，主缆水平分力是不同的。然而，上述简化所造成的误差是非常小的，因为锚长度太短，可以忽略不计。应用在前一节中讨论的迭代方法，主缆在活载下作用下的内力如下：

（32a-c）

注意，非对称载荷条件下，边跨的主缆内力是不相等的。由（9）可得加劲梁参数

（33a-c）

由于右跨主缆水平分力由（7）式则负载条件如下：

（34a，b）

（34c）

为了求出连续支撑点的弯矩，考虑到外部荷载和，必须先计算出铰接点的转角。端点转角列出在表2中，已经使用公式计算图4求出。联立求解线性方程组[（25）]，连续支撑点的弯矩可以求得：

表1列出了在单独负载的情况下，在十等分点梁的挠度值。使用图4中的公式求

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