Abstract

Gravitational and seepage forces tend to cause instability in natural slopes, in slopes formed by excavation and in the slopes of embankments and earth dams. The most important types of slope failure are illustrated in Fig. 9.1. In rotational slips the shape of the failure surface in section may be a circular arc or a non-circular curve. In general, circular slips are associated with homogeneous soil conditions and non-circular slips with non-homogeneous conditions. Translational and compoundslips occur where the form of the failure surface is influenced by the presence of an adjacent stratum of significantly different strength. Translational slips tend to occur where the adjacent stratum is at a relatively shallow depth below the surface of the slope: the failure surface tends to be plane and roughly parallel to the slope. Compound slips usually occur where the adjacent stratum is at greater depth, the failure surface consisting of curved and plane sections.

• 作者R. F. Craigin Soil Mechanics (1983)

Stability of Slopes

1.1 Introduction

Gravitational and seepage forces tend to cause instability in natural slopes, in slopes of embankments and earth dams. The most important types of slope failure arc illustrated in Fig.1.1. In rotational slips the shape of the failure surface in section may be a circular are or a non-circular curve. In general, circular slips are associated with homogeneous soil conditions and non-circular slips with non- homogeneous conditions. Translational and compound slips occur where the form of failure surface is influenced by the presence of an adjacent stratum is at a relatively shallow depth bellow the surface of the slope: the failure surface tends to be plane and roughly parallel to the slope. Compound slips usually occur where the adjacent stratum is at greater depth, the failure surface consisting of curved and plane sections.

Figure 1.1 Type of slope failure

In practice, limiting equilibrium methods are used in the analysis of slope stability. It is considered that failure is on the point of occurring along an assumed or a known failure surface. The shear strength required to maintain a condition of the limiting equilibrium is compared with the available shear strength of the soil, giving the average factor safety along the failure surface. The problem is considered in two dimensions, conditions of plane strain being assumed. It has been shown that two-dimensional analysis gives a conservative result for a failure on a three-dimensional (dish-shaped) surface.

Figure 1. 2 The _u=0 analysis

1.2 Analysis for the Case of _u=0

The analysis, in term of total stress ,covers the case of a fully-saturated clay under undrained conditions, i.e. for the condition immediately after construction. Only moment equilibrium is considered in the analysis. In section, the potential failure surface is assumed to be a circle arc. A trial failure surface (centre O, radius and length L_a) is shown in Fig 1.2.Potential instability is due to the total weight of the soil mass(W per unit length) above the failure surface. For equilibrium the shear strength which must be mobilized along the failure surface is expressed as:

_m==

where F is the factor of safety with respect to shear strength. Equation moment about O:

Wd=L_ar

F= (1.1)

The moments of any additional forces must be taken into account. In the event of a tension crack developing, as shown in Fig1.2,the arc length L_a is shortened and a hydrostatic force will act normal to the crack if the crack fills with water. It is necessary to analyze the slope for a number of trial failure surfaces in order that the minimum factor of safety can be determined.

Example 1.1

A 45°slope is excavated to a depth of 8m in a deep layer of unit weight 19kN/m³: the relevant shear strength parameters are c_u=65kN/m³ and _u=0.Determine the factor of safety for the trial surface specified in Fig1.3.

In Fig1.3, the cross-sectional area ABCD is 70m².

The weight of the soil mass=70times;19=1330m².

The cent roid of ABCD is 4.5m from O.

The angle AOC is 89.5°and radius OC is 12.1m.

The arc length ABC is calculated as 18.9m.

The factor of safety is given by:

F=

=

=2.48

This is the factor of safety for the trial failure surface selected and is not necessarily the minimum factor of safety.

Figure 1.3 example 1.1

1.3 The -Circle Method

The analysis is in terms of total stress. A trial failure surface , a circular arc (centre o, radius r) is selected as shown in Fig 1.4.If the shear strength parameters are c_u and _u ,the shear strength which must be mobilized for equilibrium is:

_m==

=c_m

Figure 1.4 The -circle method

Where F is the factor of safety with respect to shear strength .For convenience the following notation is introduced:

c_m= (1.2)

tan= (1.3)

it being a requirement that:

F_C==F

An element ab, of length l, of the failure surface is considered, the element being short enough to be approximated to a straight line. The forces acting on ab (per unit dimension normal to the section) are as follows:

1. the total normal force ;
2. the component of shearing resistance c_ml;
3. the component of shearing resistance tan.

If ea

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第一篇：Stability of Slopes （R. F. Craig《soil mechanic》p71-77）

边坡稳定性

摘要

重力和渗流往往会导致自然边坡、人工边坡、堤坝和水坝边坡的不稳定。最常见的边坡破坏类型见图1。弧形滑动破坏面的形状可能是圆曲线或非圆曲线。一般来说,圆弧滑动面又同类土壤导致而非圆弧滑动面与不同类土壤导致。当两个相邻的岩层之间强度产生差异的时候就会导致平移和复合滑动。平移往往发生在相对来说较浅但仍在边坡面以下的地层，并且一般都与边坡面平行。复合滑动通常发生在相相邻地层中更深的一层，破坏面可以是曲面或平截面。

1.1简介

在天然边坡、开挖形成的边坡以及河堤和土坝的边坡中，由于重力和渗流的作用下会导致失稳。最典型的边坡滑弧如图1.1所示。在旋转滑动中，断面图上的滑动面的形状可能是圆弧或非圆弧的曲线。一般情况下，圆弧滑动与均质土相关联，而非圆弧滑动与非均质土相关联。当滑动面的形成受到临近的强度明显不同土层的影响时，会发生平移滑动和复合滑动。当临近地层位于坡面以下相对较浅时，往往发生平行破坏，其滑动面往往是平面且大致平行于坡面。当临近土层埋藏相对较深时，常发生复合滑动，其滑动面是由曲面部分和平面部分共同组成。

在实际情况下，极限平衡法被用于边坡稳定分析之中。它认为，滑坡是沿着假定的或已知的滑动面发生。将保持极限平衡状态所要求的剪切强度和土体可用的剪切强度想比较，可以给出沿滑动面的平均安全系数。这个问题是在二维，也就是假定的平面应变的条件下进行考虑的。已经证实，对于三维（碟形）坡面的失稳，二维分析所得出的结果偏于保守。

1.2 _u=0情况下的分析

这种分析是从总应力的角度出发，涵盖了在不排水条件下的完全饱和的粘土的情况。例如，工程刚完成的情况。在这种分析中只考虑了力矩平衡。在断面图上，潜在的滑动面呗假定为圆弧。瞬时滑动面（圆心O，半径r，弧长）如图1.2所示。潜在的失稳是由于滑动面以上的土体总重量（每一延米为W）导致的。平衡状态下的沿滑动面的剪切强度应按如下表示：

这里，是相应于剪切强度的安全系数。相对于圆心O的力矩等式如下:

（1-1）

任何附加荷载的力矩都应该被计入在内。在应力裂缝的发展过程中，如图1.2所示，圆弧的长度减小。并且，如果裂缝被水充满，静态水压力将垂直作用于裂缝上。由此，有必要对一系列瞬时滑动面进行分析，以确定出最小的安全系数。

例1.1

在有容重为19kN/m³的饱和粘土构成的8m深的土层中开挖出45^°的斜坡，相应的抗剪强度参数是=65kN/m², =0。确定瞬时滑动面的安全系数，具体情况见图1.3。

在图1.3中，断面ABCD的面积是70m²，土体总重量=70times;19=1330kN/m，断面ABCD的形心距圆心O的水平距离是4.5m，ang;AOC=89.5°，半径OC=12.1m。量测得到的弧长AOC为18.9m。安全系数的计算如下所示：

这就是所选择的瞬时滑动面的安全系数，但不一定是最小的安全系数。这种分析是从总应力的角度出发的。选择瞬时滑动面的圆弧（圆心O,半径r）如图1.4所示。如果抗剪强度参数是和，则抗剪强度必须由等式表示如下：

这里，F是相应于抗剪强度的安全系数。为了方便，采用下面的符号。

（1-2）

（1-3）

要求是：

对于拟定的潜在滑动面上的长度为1的单元ab，由于单元足够小而可以被视为直线段。作用在ab上的力（在单位尺寸上垂直于断面）如下所示。

（1）总正应力；

（2）抗剪强度的组成部分之一；

（3）抗剪强度的组成部分之二。

1.3 圆法简介

如果沿滑动面的被分解成垂直和平行于弦AB。而垂直那一部分力总

和是0，平行那一部分力的总和有下面的式子给出：

（1-4）

这里的是弦长AB。因此，力C就是的合力，并且力的作用线平行于弦AB。合力C的作用线的位置可以通过关于圆心O求矩的方法来确定。如果合力C的作用线离圆心的距离是，那么：

C r_c=r

例如，c_mL_cr_c=rc_mL_a

其中，La=是弧AB的长度。

由此，r_c=r （1-5）

在单元ab上，和tan的合力与法线的夹角是，并且这个力与与圆心为O，半径为r sin的圆相切。这个圆被记作-圆。同样的方法将在第五章被用到。相对于圆弧AB的总的反力R被假定为与-圆相切。严格来讲，反力R是与半径略大于r sin的圆相切。但是，包含在以上的假设中的误差是没有意义的。

位于瞬时滑动面以上的土体在它的总重量（W）和抗剪强度C、R的作用下处于平衡状态。力W的大小和方向都是已知的；而合力C只有方向是已知的。首先，要选择一个瞬时值，相应的的值根据等式1.3计算得到。为了满足平衡条件，合力R的作用线必须与-圆相切。并且，合力R要经过力W和C的交点。这样，就可以绘出力的矢量图。由矢量图可以得出力C的值。然后：

c_m =

并且

F_C=

有必要根据不同的值，重复进行这样的分析至少三次。如果计算所得的F_C和相应的值相吻合，则要求F_C=的安全系数可以被确定了。整个步骤需要根据一系列瞬时滑动面重复多次，以得出最小的安全系数。

在失稳土体上进行有效应力分析时，土体的总重W和边界上的水压力联系在一起。这时有效应力参数c′和 ′将会被用到。

根据几何相似原理，泰勒〔1.13〕从总应力的角度阐明了如何进行粘性土边坡的稳定系数。对于高度为H的边坡，沿安全系数最小的滑动面的安全系数(N_s)是：

N_s= (1-6)

N_s的值是坡角，抗剪强度参数的函数。N_s的值可以由图1.5查得。当=0时，N_s的值也取决于土层深度D，在此DH是是到稳定土层的深度。

在例1.1中，=45°， =0，假定D非常大，N_S的值是0.18。然后，由等式1.6：

F= = =2.37

吉普森和摩根斯坦〔1.4〕推导了在正常固结粘土中的边坡稳定系数。在正常固结粘土中，不排水条件的强度参数c_u(=0)随深度而线性变化。

例1.2

一个路堤边坡按图1.6进行细分。对于给定的滑动面，从总应力的角度出发运用-圆法确定安全系数。合理的抗剪强度参数是c_u=15kN/m² 和=15°：土体的容重是20 kN/m²。

断面ABCD的面积是68m²，重心(G)距离通过D点的铅垂线的距离是0.6m。滑弧的半径是11.10m。滑弧长度AC是19.15m，弦长AC是16.85m。

土体的总重量是：

W=68times;20=1360 k N/m

合力C的位置可以按一下方法确定：

r _c= = times;11.10

现在：=tan^-1()

选定一个，由此可以计算出相应的r sin ，也可以绘出-圆，如图1.6所示。合力C（相应于每一个值），的作用线平行于弦AC，且距离圆心的距离是r_c。力C和W相交于E点。相应于每一个都有一个R值。R经过E点且正好与-圆相切。这样，根据以上关系，就可以绘出力的矢量图，也可以确定C的值。

如果F_c恰好等于（如图1.6），显然有：

F=F_C==1.43

1.4 条分法

在这种方法中，断面图上的潜在滑动面也被假定为圆心为O，半径为r的圆弧。在瞬时滑动面以上的土体（ABCD）被铅直平面划分成一系列宽度为b的土条，如图1.7所示。每一个土条的底部都被假定为一条直线。每一个土条相对于水平线的倾角都是，由中线量取得到的高度是h。安全系数被定义为可用的抗剪强度参数（）和抗剪强度参数（）的比值。安全系数要求由极限状态求得。例如，

F=

安全系数相对于每一个土条都是相同的。这意味着在土条之间必须存在相互作用。例如，在土条之间必须存在有力。

作用在每个土条上的力（相对于垂直于断面的单位尺寸而言）被罗列如下。

1. 土条的总重量W=bh（在合适的地方采用_sat）
2. 作用在土条底部法线方向上的力N。一般来说，这个力由两部分组成，有效的法向应力N′（等于′l）和边界水压力ul。其中，u是作用在底部中心的水压力，l是土条底部的长度。
3. 作用在土条底部的剪力T=l。
4. 作用在侧面上的总的法向应力E₁和E₂。
5. 作用在侧面上的剪力X₁和X₂。

要注意，每一个外力都要被包含在该分析之中。

这个问题属于静不定问题。为了求解，必须对条间力E和X进行假定。但由此得出的安全系数是不准确的。

考虑对O点的力矩，在滑弧AC上的剪力T的力矩的总和必须等于土体ABCD的总重量的力矩。对于任意土条，力臂w等于r sin ，因此:

=

现在，T=l=

∵ =

there4; F=

从有效应力的角度进行分析：

F=

或者：

F= （1-7）

在这里，L_a是弧AC的长度。等式1.7是准确表达的，但是在力N′取值时采用了近似的估计。对于一个给定的滑弧，力F的值将取决于力N′被估算的方法。费伦纽斯解法

在这种解法中，假定每一个土条的内部作用力为0。这种解法包括了重新确定作用在每一个土条底部的法向力的步骤。例如，

由此，从有效应力（等式1.7）的角度出发得出的安全系数被写做：

F= (1-8)

其中，每一个土条所受的重力的分力 和可以根据几何关系来确定。值可以通过直接测量和计算这两种方式来确定。另外，为了求出最小的安全系数，需要选择一系列的瞬时滑动面进行计算。这种解法得出的安全系数偏低。与其他的更加精确的分析方法相比，误差通常在5-20﹪。

当从总应力的角度出发进行分析，将要用到c_u 和_u。并且，等式1.8中的u的值是0。如果_u=0，则安全系数可以写作：

F= (1-9)

由于在等式1.9中没有出现N′，因此可以得到F的精确解。

简化毕肖普法

在这种解法中，假定作用在间的合力是水平的。例如，

X₁-X₂=0

在平衡条件下，每一个土条底部的剪力是：

T=

沿铅垂方向分解力系得，

所以 (1-10)

为了方便，采用以下的替换：

l=

由等式1.7，经过一系列变形得到：

(1-11)

在任意一点，空隙水压力可以通过它与总应力的比值联系起来。定义如下：<!--

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