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多个行人与天桥耦合作用下引起结构竖向振动的模型

Fiammetta Venuti, Vitomir Racic, Alessandro Corbetta

摘要

经过15年来对人行荷载在结构上引起的振动响应的多次研究，该领域研究仍然缺乏适用于由于多个行人产生人行桥振动的可靠模型。新一代模型亟待解决的三个关键问题，即：行人的“智能”与周围人和环境的相互作用而对人行荷载的影响，人行走时对结构动力特性的影响以及人行荷载多方面的随机性。本文提出一个结构竖向振动的建模框架，涉及以上三个方面。该框架包括两个主要模型：（1）多人行走的微观模型，其中速度和位置随时间变化；（2）一个多人-人行桥的耦合动力学模型。人行桥被建模为有不承重结构动态特性的单自由度系统。一个组中的单个人被建模为一个相邻随机竖向荷载作用在单自由度系统上，它沿着人行桥长边方向行走，这成为行人作用于天桥的微观模型。分别用不密集，中等密集和非常密集的交通情况下的模拟振动响应来说明模型框架的表现情况。此外，加速度峰值响应的概率密度符合韦布尔分布。考虑到人群多方面的随机性，确定承载时人行天桥的加速度值在某一给定范围的可能性。

一.引言

近年来，在刚性结构上，单人荷载竖向振动的实验研究和模型已经取得了相当大的进展^[1–3]。然而，仍然缺乏多个行人在狭长型天桥上竖向振动时的有关数据、可靠模型和有关指导。本研究旨在通过提出一个“行人人-结构相互作用”的数学框架，通过该框架来研究多个行人在竖向振动的人行天桥上的相互作用。多个行人在结构上行走的作用应该包含以下三个方面：

（A1）步行荷载，即所谓的“地面反作用力”或“GRFs”，包括了外在因素和内在因素^[4];

（A2）人-结构相互作用（HSI），即由于行人而引起结构振动特性的变化;

（A3）在周围人和环境的影响下对行人的轨迹和步伐进行模拟。在本文中的不同组别中，这一方面都被称为“人群动态”。

每个方面将在以下段落中讨论：

（A1）GRF传统上被建模为一个确定性荷载，可以通过前几阶主要的傅里叶谐波^[1]显示出。近二十年前，Kerr^[5]首先提出了动荷载因子。进一步的研究表明确定性荷载建模方法存在不足，不能可靠地描述人群中个体行走产生振动的随机性^[4,6–9]。最近更多的研究还表明，傅立叶建模方法缺乏对很多主要因素的讨论，导致数据较少时结果不够准确。例如，Brownjohn^[4]对实际测量的数据和用傅里叶级数荷载下的加速度响应数据相差50%。这个错误在于忽略了对其他阶谐波荷载分量的计算。Racic和Brownjohn^[2]全面地测量步行荷载的各个分量，观察到差异是由于个人之间的步频和步幅不同产生，并提供了他们第一个数学模型。基于已测得的一组五个人在人行桥上行走的测量数据，van Nimmen^[12]等人认为在连续脚步之间的时间差是关键的动力参数，它可以形成相应形状的模拟振动响应图。此外，他们推测在测量和模拟振幅中的差异来自于人-结构相互作用。

（A2）自从对发生在2000年的伦敦千禧桥^[15]的横向振动问题^[1,13,14]的思考，人-结构相互作用已经在横向上得到研究。现在人们普遍认为行人是复杂和敏感的动态系统，他们的横向运动和相应的接触力可能受到支撑结构的横向摆动影响。此外，他们倾向于使他们的脚步与侧向结构同时运动（所谓的横向同步锁定效应），这样，它们相当于负阻尼^[15]在耦合的人-结构动态系统内输入能量。另一方面，竖向人-结构相互作用很少研究。少量研究表明在竖向振动方面，行人主要增加正阻尼，但并没有得出可靠结论。考虑到即使对于单个行人也缺乏可行的研究成果，那么有关的设计指导仍建议仅基于刚性表面上产生的地面反作用力荷载模型来计算竖向振动响应便不足为奇了。

迄今为止已经提出了两种类型的耦合的行人-结构模型来描述竖向的人-结构相互作用。从人类步态的生物学角度出发，第一个模型把单个行人看作一个倒置在桥上移动的摆锤，同时在竖向振动。它首先被Macdonald^[19]用来模拟在横向摇摆桥上的人-结构相互作用，然后由Bocian^[17]等人改进来描述竖向振动。

另一种类型的人-结构相互作用模型是耦合的单自由度（SDOF）模型，用移动的单自由度表示以恒定步速和步频行走的行人。在亚历山大^[20]的模型中，耦合的振动由竖向谐波力产生。力代表通过腿部肌肉的收缩实现，并推动上身抵抗支撑结构。该模型并没有得到广泛普及，由于缺乏可靠实验数据，对比分析单自由度体系的振动特性仍然是一个挑战。作为替代，Caprani^[21]等人使用附加到单自由度体系上的外部谐波力，并假设仅作用于结构。虽然力逼近在实测的步行地面反作用力，但单自由度行人的作用是为了改变在满荷载结构的振动特性。Dang和Zivanovic^[22] 用单个行人振动模型进行了一系列的振动模拟并且报告了两个模型在人-结构竖向相互作用同样好的性能。因此，随着步行荷载已经被很多人测量、分析和建模，这个概念已在当前研究中作出改变。然而，对于单自由度行人的质量，刚度和阻尼的值存在相当大的不确定性，将在第2节进一步讨论。

（A3）所有上述模型研究了单个行人作用于桥的情况，而多个行人行走是行人天桥更可能的载荷情况。然而，由于人群内的个人之间相互影响，周围环境对步态和步行轨迹的影响，以及结构上的动载荷的大小和振动特性的不确定，它的建模难度较大。行人是“智能”个体，会对周围环境做出反应，从而对结构本身的振动产生影响。有证据表明外周刺激（例如视觉，触觉，和听觉）是影响行人步行^[23–25]的同样重要的因素。自六十年代初，应用数学家和交通工程师提出了多个行人在人群中行为的数学模型来解决有关问题。此外，他们旨在提高对人群自发行为^[26,27]和动力特性的理解。根据大量观察，提出的模型可以分为两大类：（1）建立在考虑连续人群性质的宏观模型^[28–30]，和（2）考虑人群随时间变化的位置和速度来更详细的描述每个人的微观模型^[31–33]。这两种建模方法都被用来模拟仅在天桥横向振动^[34–37]时的行人交通情况。尽管在他们的文献^[29,38]中有大量的模型，仍然找不到一种较好模拟现实的建模方法。为了最好地理解本研究的作者，由于人群具有“粒状”性质，宏观模型暗示一种与现实粗略近似的方法。它们可以在高密度行人的情况下更适合。此外，宏观模型取模拟参数的平均值，例如平均人群密度和速度，因此不能明确地考虑行人间的差异。所以，在本研究中采用了建立行人交通的微观方法。

本文试图研究所有人致天桥竖向振动的关键因素。研究目的是建立一个可以应用于任意行人交通下人行天桥响应的框架。为了简单起见，在本研究中采用行人单向运动的模型，运用描述行人固有多样性的统计方法。下一节介绍行人-结构相互作用的建模框架。在第3节，模型的性能研究基于四个虚拟桥梁在行人交通密度下不同的模拟振动响应。最后，第4节概述了主要发现和结论。

二.建模框架的描述

图1中的流程图概述了提到的的建模框架。它涉及两个不同的物理系统，即行人和结构。“行人”系统在数学上由三个子系统描述：（C）是人群动力特性的微观模型（即行人交通），（P）是每个行人的单自由度质量弹簧阻尼器模型和（F）Racic和Brownjohn^[2]提出的单个随机性步行荷载模型。“结构”系统被建模为单自由度质量弹簧阻尼器系统（S）。如图1中突出显示的，三个子系统P，F和S描述了类似于Caprani^[21]等人提出的行人-结构相互作用（PSI）的建模方法。由于没有实验证据表明竖向结构振动改变了行人的步行速度^[17]，因此假设控制人群动力特性的方程可以与模拟振动响应的方程解耦。沿着桥梁的位置X_p,i和第i个行人的速度V_p,i的地点先被产生，然后以PSI模型的输入数据。因此，耦合仅在P和S系统之间。

接下来的三个部分提供每个子模型的详细信息。

图1.模型框架的轮廓图

2.1.建模人群动力特性（C）

从微观角度描述桥面上的人群动态。用随时间变化的身体质心的位置x和速度v来定义每个行人的步行轨迹和步态。对行走轨迹进行建模有以下原则^[38]：

1.每个行人以优选速度（所谓的自由速度）进入桥，并朝向目标目的地（即桥的相对端）以所谓的期望速度。如果他/她的步行，如果不受周围人和环境的干扰，这些都不会改变；

2.当接近目标时，由于邻近的行人和环境的相互作用，期望的速度在基础上逐步被修改。这种相互作用发生在所谓的感觉区^[39]，每个行人周围的空间影响他/她决定什么时候和在哪里放置下一个脚步。对于为简单起见，但又不失一般性，在本研究中，感觉区域仅限于视野内的行人。

3.行人之间的相互作用在空间上是各向异性的。这意味着当行人感觉到面前，旁边和后面的事物时，他们的反应不同。在这项研究中，相互作用局限于额叶感觉地区;

1. 行人的互动可以是排斥和吸引。人们通常倾向于避免拥挤的区域和碰撞与其他行人，以及远离障碍物。他们也可能成群结队地走，例如：夫妻，以类似于单个行人^[40]方式行走。在情况拥挤的情况下，证据显示行人选择最快的路线到桥端，而不是最短的路线，所以主要是与他人的排斥作用^[32]。考虑这所有因素且为了简单化，建模框架仅解释在本研究中的排斥相互作用。

基于“社会力量”^[31,41,42]概念的许多现有的微观模型可以解释以上所列原则。然而，这些模型的特征通常在于参数太多。因此，一个相对更简单的建模概念最初由Cristiani^[43]等人提出。 并应用于模拟一个简单的排斥性相互作用中的行人天桥研究[44]。它可以平衡足够详细的描述行人行为和输入参数的数量，这将在3.1节进一步讨论。而在一般的数学结构中已被保留，速度的表达式在后续等式（4）和（5）中是默认值。

让我们考虑一个尺寸为L*B的人行桥甲板，其位于水平面x-z（图2a）。对于一组

N个行人，X_p;i = {X_p,i;,Z_p;i}是第i个行人的位置的向量（i=1，...N）。他或她的速度

vp;i ={Vxp;i;Vzp;i }模型化为两个不同定值的总和：期望速度V_d;i和社会速度V_s;i^[38] ：

期望速度的概念解释了个体和人群之间没有相互作用。它假设每个行人只知道周围环境和目标的位置。它可以表示为自由期望速度和壁排斥速度的向量和：

图2.（a）人行桥面与期望速度矢量 （b）v_di^w大小随dw变化的曲线

图3.（a）感应区速度矢量 （b）v_sj大小随两个行人距离差绝对值变化的曲线

自由期望速度的矢量场取决于结构的几何形状。在窄矩形的情况下走道(L⪢B)是典型的人行桥和单向流，它可以描述为：

其中vi是自由速度（图2a）。壁斥速度基于结构设计的边界条件，例如行人天桥沿着甲板的栏杆和障碍。它垂直于墙壁，并表示为：

其中n_w = {0， 1，-1}是向内指向桥纵轴x的单位矢量，d_w是行人和墙壁之间的距离，d₀是人体横向宽度的一半，d_w0是发生排斥距离墙壁的最大距离，alpha;和beta;是表征排斥的参数。具体地，alpha;是控制排斥强度的缩放因素，而beta;是使得在靠近墙壁的地方产生更强的排斥力，（图2b）。因此，行人在通道Beff = B-2_d0有效宽度内的横向界定。

社会速度考虑了行人i与他/她的感觉区内的行人相互作用（图3b）：

在等式5，正标量c控制排斥相互作用的强度，而h函数限制感觉区相互作用。 在这项研究中，感觉区域近似为具有半径R和角度2gamma;属于0到2pi的圆扇形区域;如图1所示。 相互作用函数h由下式表示：

当行人非常接近墙壁时（图2b）或者另一个行人时（图2b），（4）和（5）可以产生非常高的速度值（图3b）。另一方面，在相关的报告的步行速度的平均上限值大约在2.5m / s左右（例如^[45,46]）。因此，通过人群模型产生的速度被限制在2.5m / s。

2.2.行人结构相互作用建模（PSI）

PSI被表示为单自由度的动态系统，它描述一个结构的振动（S）和N个单自由度表示的N个行人（P）的竖向步行荷载（F）（图4）。

在模态域中，耦合系统的动力特性可以以矩阵形式写成：

其中质量，阻尼和刚度矩阵为：

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